1 est retiré de (L) et les entiers c et d entrent dans la liste

A5919. Mersenne,au secours ! ***

On se fixe un entier N > 1 et le jeu consiste à trouver (si elle existe) une liste (L) d’entiers naturels > 1 à partir de laquelle on peut obtenir N en effectuant tour après tour l’une des deux opérations suivantes:

1) Les entiers a et b sont retirés de (L) et l’entier a^b entre dans la liste.

2) Tout entier qui peut s’écrire sous la forme c^d avec c et d entiers > 1 est retiré de (L) et les entiers c et d entrent dans la liste.

On adopte les règles supplémentaires suivantes :

1) La liste (L) initiale ne contient jamais plus de cinq entiers et ces entiers sont tous ≤ 100.

2) Au cours de la partie, (L) peut contenir un entier quelconque en plusieurs exemplaires.

Par exemple à partir de (L) qui contient initialement l’entier 64, on obtient N = 256 en deux tours.

Comme 64 s’écrit 8², au 1^er tour on remplace 64 par 2 et 8. Au 2^ème tour, 2 et 8 donnent 2⁸ = 256 = N

Q1 Prouver qu’à partir la liste initiale (L) ={4,64}, on sait obtenir les deux cibles N = 127 et N = 2187. Décrire les deux séquences qui permettent de les obtenir.

Q2Trouver une liste initiale (L) qui permet d’obtenir en moins de dix tours la cible 2 147 483 647 qui est le nombre premier de Mersenne découvert par Euler.

PROPOSITION Th Eveilleau Q1

Essayons d’obtenir les premiers entiers premiers : 3, 5, 7 (4,64)  (4,2,8)  (4,2,2,3)

(4,64)  (2,2,,64)  (2,2,8,2)  ( 2²,2 ,8)  ( 2⁴, 8)  (2³² ) (2,32) (2,2⁵)  (2,2,5) (4,64)  (4⁶⁴)  (2¹²⁸)  (2,128)  (2,2⁷)  (2,2,7)

Remarque : a^(p*q) = (a^p)^q N=7

Autre façon de procéder avec l’ASTUCE : 2^(2^8)= (2^2) ^(2^7) CAR 2^ 8 = 2 * 2^7

(4,64)  (2,2,64)  (2,2,2,8)  (2,2,2^8)=(2,2,256)  (2, (2^2) ^ (2^7) )  (2,2^2, 2^7)  (2,4,2^7)  (2,4,2,7) N=127

Même astuce que précédemment.

Nous avons

2^128 = 2 * 2^127  2^(2^128) = 2 ^ ( 2 * 2^127 ) SOIT 2^ (2^128) = (2^2) ^ (2^127 ) et DONC

2 ^ (2^128) = (2^2) ^ (2^127) AINSI

(4,64)  (2,2,64)  (2,2,2,8)  (2,2,2^8) = (2,2,256)  (2,2^256)=(2,(2^128)^2) 

 (2,2^128)  (2 ^ (2^128)) = ((2^2) ^ (2^127) )  (2,2, 2^127)  (2,2,2,127) N=2187

2187 = 3⁷

On peut donc procéder ainsi : (4,64)  (4^64) avec 4^64 = (4^8)^8

 (8, 4^8)  (4,8,8)  (2,2,8,8)  (2,2,2,3,8)  (2,2,3,8^2) SOIT (2,2,3,64)

 (3,4,64)  (3,4^64)  (3,2^128) On a 128 = 2^7

 (3,2,2^7)  (3,2,2,7)  (2,2,3^7) OU (2,2,2187)

Q2

2 147 483 647 = 2³¹ - 1

C’est un nombre de Mersenne premier...

Comme ci-dessus avec 127, nous aurons

2 ^ (2 ^ 2147483648) = (2 ^ 2) ^ (2^ 2147483647) 2 ^ (2 ^ (2 ^ 31) ) = (2^2) ^ (2 ^ 2147483647)

On peut prendre la liste minimale (4,62) :

(4 ,62)  (2,2,62)  (2,2^62)  (2,2,2^31)  (2,2^(2^31))  (2^(2^(2^31))) = ((2^2) ^ (2 ^ 2147483647) )

 (2^2, 2 ^ 2147483647)  (2^2, 2, 2147483647) On arrive au résultat demandé en 7 étapes.