A378 :
On considère l’ensemble (E) des entiers de neuf chiffres distincts sans zéro.
Q1 Un élément de (E) est dit « beau » s’il est divisible par 37.
Démontrer sans l’aide d’un quelconque automate que (E) contient au moins 1200 beaux entiers.
Q2 Un élément de (E) est dit « superbe » s’il est divisible à la fois par 7, par 11 et par 13.
Démontrer toujours sans l’aide d’un quelconque automate que (E) contient au moins 320 superbes entiers.
Q3 Un élément de (E) est dit « magnifique » s’il est divisible par un nombre premier de neuf chiffres. Déterminer le plus grand entier magnifique.
Solution proposée par Nicolas Petroff
Q1 : Soit N = , le nombre à 9 chiffres , ces chiffres étant tous distincts entre eux et . Dans la division par 37, on a N + mod(37) N x + 10y + 26z mod(37). On remarque que 26+10+1=37 . Comme x+y+z = 45 , il suffit de prendre x=y=z=15 et la somme M = (x + 10y + 26z) sera bien congrue à 0 mod(37) .
Chacun des nombres x, y, z est donc composé d’une part par les triplets indépendants de chiffres (1,5,9),(2,6,7), (3,4,8) et d’autre part par les triplets indépendants (1,6,8), (3,5,7), (2,4,9) .
A l’intérieur de chaque triplet il y a !3 = 6 combinaisons, et comme un ensemble de nombre x,y,z
représente 3 triplets, cela fait 6*6*6 = 216 combinaisons sans intervertir les triplets entre eux . Enfin en intervertissant les trois triplets entre eux , cela fait 1296 combinaisons, nombre que l’on peut encore multiplier par 2 puisqu’il y a deux ensembles de triplets indépendants, soit 2592 façons possibles d’obtenir x=y=z=15. Enfin 2592 est > 1200.
Q2 : Toujours en considérant les nombres N = , le nombre à 9 chiffres , ces chiffres étant tous distincts entre eux et , on cherche les nombres divisibles à la fois par 7, 11, 13, soit par 1001.
Si N est divisible par 1001, N 0 mod(1001) .
Compte tenu des puissances de 10 dans l’expression de N et de sa congruence à 0 mod(1001) , N ( mod(1001) .
L’expression E = ( = 0 , donc en particulier E 0 mod(9) , soit ( 0 mod(9) , soit encore : ( mod(9) .
Or ( 0 mod(9) , donc 2 0 mod(9) , donc 0 mod(9) , donc : 9 < 27 (on ne peut pas avoir trois chiffres égaux à 9).
Montrons que : 9 et donc que = 18.
En résumé : 9 peut être décomposé en une somme de trois chiffres distincts dont les combinaisons indépendantes sont (1,2,6) ou (1,3,5) ou (2,3,4) et toutes les combinaisons correspondantes par permutations (6 combinaisons pour (1,2,6) et idem pour (1,3,5) et (2,3,4)) .
Avec (1,2,6) pour ( il reste les chiffres 3,4,5,7,8,9 pour les autres . Mais quelques soient les combinaisons de (1,2,6) pour former une somme , cette somme sera toujours différente à la somme des nombres de trois chiffres formés avec les chiffres 3,4,5,7,8,9 .
Mêmes constatations avec (1,3,5) et (2,3,4) . Donc = 18.
La somme = 18 peut être obtenue par une somme de trois chiffres dont les combinaisons indépendantes sont : (1,8,9), (2,7,9), (3,6,9), (3,7,8), (4,5,9), (4,6,8), (5,6,7) et toutes les combinaisons correspondantes qui en découlent par des permutations à l’intérieur de chaque triplet. On obtient donc le tableau suivant des valeurs avec les colonnes A, B, C, D, E, F, G pour le nombre :
A B C D E F G 189 279 369 378 459 468 567 198 297 396 387 495 486 576 819 729 639 738 549 648 657 891 792 693 783 594 684 675 918 927 936 837 945 846 756 981 972 963 873 954 864 765
Dans la colonne A , pour les chiffres pour i = 0,1,2,6,7,8, il reste les valeurs 2,3,4,5,6,7.
189 et 198 sont alors des nombres inférieurs à la somme de deux nombres de trois chiffres formés avec 2,3,4,5,6,7 .
Mêmes constatations dans les colonnes B,C,D avec les nombres 279, 297, 369, 396, 378, 387.
Avec le nombre 684, il reste pour les chiffres pour i = 0,1,2,6,7,8, les valeurs 1,2,3,5,7,9. Pour 684 il n’existe aucune possibilité de former deux nombres de trois chiffres dont la somme soit 684 , ces deux nombres étant formés avec les valeurs 1,2,3,5,7,9 .
Mêmes constatations avec les nombres 756 et 765.
Le tableau des sommes valides se réduit donc à :
A B C D E F G 459 468 567 495 486 576 819 729 639 738 549 648 657 891 792 693 783 594 675 918 927 936 837 945 846 981 972 963 873 954 864
Quant aux nombres de couleur noire, avec les valeurs restantes pour les chiffres pour i = 0,1,2,6,7,8, on peut former pour chaque somme = 8 combinaisons de deux nombres de trois chiffres compte tenu des chiffres des unités et des dizaines de la somme. Le total de ces combinaisons est donc de 20 8 = 160.
Quant aux sommes de couleur rouge , les valeurs restantes pour les chiffres pour i = 0,1,2,6,7,8 permettent de former pour chaque somme, = 16 combinaisons de deux nombres de trois chiffres, le total de ces dernières combinaisons est donc de 11 16 = 176 .
Le nombres total de toutes les combinaisons est donc 336 > 320 combinaisons .
Q3 : Avec l’aide de l’automate Factoris :http://wims.unice.fr/wims/fr_tool%7Ealgebra%7Efactor.fr.html , Le plus grand nombre magnifique que l’on puisse obtenir en prenant comme chiffres les plus significatifs 9,8,7,6,5,4 et en explorant les différentes permutations des chiffres 1,2,3 comme chiffres les moins significatifs qui se résument à 321 et 123 (éviter un nombre pair).
Le seul plus grand nombre magnifique est donc 987654231 qui est égal à 109739359 .
