d’o`uk= 8823533 pour un produitN k dont la somme des chiffres est 81

Enonc´e n^oA322 (Diophante)

Solution de Jean Moreau de Saint-Martin

J’observe que N = 34(10⁸ −1). Ainsi pour tout k entier, le produit N k s’obtient en retranchantA= 34k de A·10⁸.

Dans une addition de deux nombres a+b =c, chaque retenue diminue de 9 la somme des chiffres dec, en partant de la somme des chiffres deaet de b. De mˆeme, dans une soustraction a−b =c, chaque retenue augmente de 9 la somme des chiffres dec en partant de la diff´erence entre la somme des chiffres deaet la somme des chiffres deb, diff´erence qui est nulle dans notre cas.

Le nombre A·10⁸ se termine par 8 z´eros de plus que A, ce qui assure un minimum de 8 retenues et un minimum de 72 pour la somme des chiffres de N k.

Pour que cette somme d´epasse 72, il faut produire au moins une neuvi`eme retenue, ce qui exigeA≥10⁸.

On peut se contenter d’un produit A de 9 chiffres si son premier chiffre a = bA/10⁸c est sup´erieur au dernier d = A (mod 10), ce dernier ´etant non nul.

D’o`u le tableau

k (mod 5) 34k (mod 10) b34k/10⁸c

1 4 ≥5

2 8 ≥9

3 2 ≥3

4 6 ≥7

La 3e colonne montre que la premi`ere valeur deksatisfaisant ces conditions va correspondre `a 34k >3·10⁸,k= 3 (mod 5).

Calculant `a la main, j’observe que 10²+ 2 = 17×6, 10⁴−4 = 17×6×98 = 17×588,

17 + (10⁸−16) = 10⁸+ 1 = 17 + 17×588×10004 = 17×5882353, 17 + 3(10⁸+ 1) = 3·10⁸+ 20 = 17×(1 + 17647059) = 34×8823530, d’o`uk= 8823533 pour un produitN k dont la somme des chiffres est 81. Sa valeur est

8823533N = (3·10⁸+ 20 + 102)(10⁸−1) = 30000011899999878.

Cependant, il est suffisant que le premier chiffre de 34k soit 2 comme le dernier, si ce dernier est pr´ec´ed´e d’un z´ero, ce qui fournit une retenue suppl´ementaire.

2(10⁸+ 1) = 34×5882353 = 200000002 satisfait cette condition, et 5882353N = 19999999999999998 avec 144 comme somme des chiffres.

Il y a donc 5882352 multiplications `a faire (de k = 2 `a 5882353), avant de s’arrˆeter en obtenant 144 comme somme des chiffres du produit.

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On rencontrera exactement 81 comme somme des chiffres de N k pour la premi`ere fois aveck= 5882403, 34k= 200001702,N k= 20000169999998298.

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