En déduire : ∀k∈N∗, uk 8(k+12)− uk 8(k+32)≤uk+1−uk≤ uk 8k− uk 8(k+ 1) c

MPSI B Année 2014-2015 Énoncé DM 7 pour le vendredi 09/01/15 24 avril 2020

Cet exercice¹ porte sur l'étude de la suite(un)_n∈N∗ dénie par un=

√n 4ⁿ

2n n

1. a. Calculeru₁ et ^un+1_un pourn∈N^∗. b. Montrer par récurrence queun ≤q _n

2n+1 pour n∈N^∗. c. Étudier le sens de variation de la suite(u_n)_n∈

N^∗ et montrer qu'elle converge. On noteLsa limite. Montrer que

1

2 ≤L≤ 1

√ 2

2. a. En appliquant l'inégalité des accroissements nis à la fonction t → √

t sur un intervalle convenable, prouver l'encadrement suivant

∀x >0, 1

8(x+¹₂) ≤(x+1 2)−p

x(x+ 1)≤ 1 8p

x(x+ 1)

b. En déduire :

∀k∈N^∗, u_k

8(k+¹₂)− u_k

8(k+³₂)≤u_k+1−u_k≤ u_k

8k− u_k 8(k+ 1)

c. Par sommation de ces inégalités, trouver un encadrement deup−un pourpetn entiers tels quen < p. Établir

∀k∈N^∗, un

8(n+¹₂)≤L−un≤ L 8n

d. En déduire

∀k∈N^∗,

L−(1 + 1 8n)u_n

≤ L 16n²

3. a. Comment sut-il de choisirnpour queu_n soit une valeur approchée deLà10⁻⁵ près ?

b. Comment sut-il de choisirnpour que un+^u_8nⁿ soit une valeur approchée de L à10⁻⁵près ?

1d'après un problème ESSEC 1987 sur le nombre moyen de retour à l'origine pour une promenade aléatoire.

4. On admet ici la formule de Stirling qui donne une suite équivalente à la suite des factorielles.

n!∼√

2πn nⁿe⁻ⁿ Déterminer une expression formelle exacte deL.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1 Rémy Nicolai M1407E