uk, on a : Z k k−1 f(x)dx &gt

6.10 1) (a) x∈[k;k+ 1] ⇐⇒ k6x6k+ 1

Étant donné que la fonction f est décroissante, il s’ensuit : u_k=f(k)>f(x)>f(k+ 1)

(b) Vu que f(x)6 u_k, on a : Z k+1

k

f(x)dx6 Z k+1

k

u_kdx=u_kx

k+ 1 k

=u_k(k+ 1)−u_kk =u_k (c)

p k n

Z n

p

f(x)dx= Z p+1

p

f(x)dx+. . .+ Z k+1

k

f(x)dx+. . .+ Z n

n−1

f(x)dx

6u_p+. . .+u_k+. . .+u_n−1 =

n−1

X

k=p

u_k

(d) Vu que Z n

p

f(x)dx6

n−1

X

k=p

u_k, on obtient, par passage à la limite :

n→lim+∞

Z n

p

f(x)dx6 lim

n→+∞ n−1

X

k=p

u_k c’est-à-dire

Z ^+∞

p

f(x)dx6

+∞

X

k=p

u_k

2) (a) x∈[k−1;k] ⇐⇒ k−16x6k

Étant donné que la fonction f est décroissante, il s’ensuit : f(k−1)>f(x)>f(k) =u_k

(b) Vu que f(x)> u_k, on a : Z k

k−1

f(x)dx >

Z k

k−1

u_kdx=u_kx

k k−1

=u_kk−u_k(k−1) =u_k (c)

p k n

Z n

p

f(x)dx= Z p+1

p

f(x)dx+. . .+ Z k

k−1

f(x)dx+. . .+ Z n

n−1

f(x)dx

>u_p+1+. . .+u_k+. . .+u_n=

n

X

k=p+1

u_k

Analyse : critères de convergence d’une série Corrigé 6.10

(d) De Z n

p

f(x)dx>

n

X

k=p+1

u_k, on tire que :

u_p+ Z n

p

f(x)dx>u_p+

n

X

k=p+1

u_k =

n

X

k=p

u_k

En effectuant le passage à la limite, il en résulte : u_p+ lim

n→+∞

Z n

p

f(x)dx> lim

n→+∞

n

X

k=p

u_k

à savoiru_p + Z ^+∞

p

f(x)dx>

+∞

X

k=p

u_k

3) (a) Supposons que Z ^+∞

p

f(x)dx converge.

Alors la série

+∞

X

k=p

u_k converge, car elle est majorée par u_p+

+∞

X

k=p

u_k.

(b) Supposons que Z +∞

p

f(x)dx diverge.

Alors la série

+∞

X

k=p

u_kdiverge, car elle est minorée par l’intégrale Z ^+∞

p

f(x)dx qui diverge.

Analyse : critères de convergence d’une série Corrigé 6.10