ERREUR DANS LA M´ETHODE DU POINT MILIEU
Soit f une fonction de classe C3 sur [0,1], montrons que
Z 1
0
f(x)dx−
n−1
X
k=0
1 nf
k n + 1
2n
≤ kf00k∞ 24n2 +O
1 n3
Par la relation de Chasles
Z 1
0
f(x)dx=
n−1
X
k=0
Z k+1n
k n
f(x)dx montrons donc que
n−1
X
k=0
Z k+1n
k n
f(x)dx−
n−1
X
k=0
1 nf
k n + 1
2n
≤ kf00k∞ 24n2 +O
1 n3
.
Or pour tout k ∈ {0, .., n−1}, 1 nf
k n + 1
2n
= Z k+1n
k n
f k
n + 1 2n
dx, on doit donc montrer que
n−1
X
k=0
Z k+1n
k n
f(x)−f k
n + 1 2n
dx
≤ kf00k∞ 24n2 +O
1 n3
Utilisons laformule de Taylor Lagrange sur chaque intervalle [nk,k+1n ] avec k∈ {0, .., n−1}:
Soit k ∈ {0, .., n−1} :
f est de classeC3 sur [0,1] donc pour tout x∈[nk,k+1n ] il existe ck(x)∈]nk,k+1n [ tel que f(x) = f nk +2n1
+ x− nk +2n1
f0 nk +2n1
+(x−(nk+2n1 ))2
2! f00 kn+2n1
+(x−(nk+2n1 ))3
3! f(3)(ck(x)) et en int´egrant on a :
Z k+1n
k n
f(x)−f k
n + 1 2n
dx= 1 24n3f00
k n + 1
2n
+ Z k+1n
k n
x− kn+ 2n1 3
3! f(3)(ck(x))dx d’o`u par in´egalit´e triangulaire
Z k+1n
k n
f(x)−f k
n + 1 2n
dx
≤
f00 kn+ 2n1 24n3
+ Z k+1n
k n
x− nk +2n1 3
3! f(3)(ck(x))
dx
or
f00(nk+2n1 )
24n3
≤ kf24n00k3∞ et pour toutx∈[nk,k+1n ]
x− kn+ 2n1
≤ 2n1 et
f(3)(ck(x)) ≤
f(3) ∞
donc
Z k+1n
k n
f(x)−f k
n + 1 2n
dx
≤ kf00k∞ 24n3 +
f(3) ∞
48n4
donc n−1
X
k=0
Z k+1n
k n
f(x)−f k
n + 1 2n
dx
≤ kf00k∞ 24n2 +
f(3) ∞ 48n3 on conclut par in´egalit´e triangulaire.
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