Lyc´ee Dominique Villars Cours - TD ECE 2
Etudes de suites d´ efinies implicitement
• Existence/d´efinition des termes de la suite
L’existence d’une unique solution d’une ´equation f(x) =kn (type 1) ou de typefn(x) =k(type 2), lorsque nest un param`etre entier naturel, passe toujours par l’´etude des variations def oufn et l’application du th`eor`eme de la bijection `a la fonctionf ou fn.
• Monotonie
Etudier la monotonie de ce type de suites passe par :
?la comparaison def(un) etf(un+1) et l’utilisation des variations de la fonctionf pour les suites implicites de type 1 ;
?la comparaison de fn(un) etfn+1(un) ( ou la comparaison de fn+1(un) et fn+1(un+1)) et l’utilisation des variations de la fonction fn( ou celles de fn+1) pour les suites implicites de type 2 ;
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Equations de type 1 : f (x) = k
navec k
nr´ eel d´ ependante d’un param` etre entier n
Soitn∈N. On consid`ere l’´equation de la variablex>1 : xlnx = n
1. Montrer que pour tout n > 0, l’´equation xln(x) = n poss`ede une unique solution sur [1; +∞[, not´eeun.
2. D´emontrer la suite (un) est croissante.
3. Montrer que pour tout entiern>1, un6n.
4. En d´eduire que pour tout entier n>1,un > n lnn
5. Conclure quant au comportement asymptotique de la suite (un).
Exercice 1 (EDHEC 2004).
Pour tout entier natureln, consid´erons l’´equation xlnx
x+ 1 = n (en)
1. Montrer que pour tout entier n, l’´equation (en) admet une unique solution. On note wn cette solution.
2. Pour toutn∈N,wn>en.
3. En d´eduire le comportement asymptotique de la suite (wn).
Exercice 2.
Soitf d´efinie sur [0,+∞[ par :
f(x) =x ln(1 +x) 1. Calculer pour toutx∈[0,+∞[,f0(x) et f00(x).
2. En d´eduire que f est strictement croissante sur [0,+∞[.
3. On consid`ere `a pr´esent pournentier naturel non nul l’´equation : f(x) = 1
n2 (a) Montrer que, pour tout entier n, l’´equation f(x) = 1
n2 poss`ede une unique solution strict- ment positive. On la noteraan.
(b) En comparantf(an+1) etf(an) , montrer que la suite (an) est d´ecroissante et convergente.
(c) Montrer que la limite de la suite (an) ne peut pas ˆetre strictement positive. En d´eduire sa limite`.
Exercice 3.
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Equations de type 2 : f
n(x) = k avec f
nfonction d´ ependante d’un param` etre entier n
Soit un entier natureln>2, on consid`ere la fonction fn d´efinie sur [0; 1] par fn(x) =xn+ 1−nx
1. Etudier les variationsfn sur [0; 1].
2. En d´eduire que pour tout entier n > 2, l’´equation fn(x) = 0 poss`ede une unique solution sur [0,1].
On notevn cette valeur.
3. Monotonie de(vn)
(a) Etudier le signe de fn+1(x)−fn(x) sur l’intervalle [0; 1].
(b) En d´eduire le signe de fn+1(xn).
(c) D´eterminer la monotonie de la suite (xn) puis la convergence de cette suite.
4. D´emontrer que pour toutn>2, 0 6 vn 6 2 n 5. En d´eduire la limite de la suite (vn)
Exercice 4.
Pour tout entier natureln>1, on d´efinit la fonctionfn surR par fn(x) = 1
1 +ex +nx 1. Justifier quefn est strictement croissante surR.
2. D´emontrer que l’´equationfn(x) = 0 poss`ede une unique solution surR. On noterncette solution.
3. Justifier que pour tout entiern>1, −1
n 6 rn < 0 4. En d´eduire le comportement asymptotique de la suite (rn).
Exercice 5 (EDHEC 2008).
Exercice 6 (ECRICOME 2019).
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Soit un entiern, on consid`ere la fonction fn d´efinie sur [0; +∞[ par fn(x) = x2n+1−xn+1−1 1. Etudier les variations de la fonctionfn sur [0; +∞[.
2. D´emontrer l’existence d’un unique r´eel xn>0 tel que fn(xn) = 0 3. D´emontrer que pour tout entiern,xn>1.
4. Monotonie de(xn)
(a) Justifier que pour tout entier n,fn(xn+1)60.
(b) En d´eduire la monotonie de la suite (xn).
5. Comportement asymptotique de (xn)
(a) Montrer `a l’aide de la formule du binˆome de Newton que pour tout entiern,
1 + 1 n
n
> 2 (b) En d´eduire que fn
1 + 1
n
>0.
(c) Qu’en conclure quant `a la comparaison entre xn et 1 + 1 n ? (d) En d´eduire le comportement asymptotique de la suite (xn) Exercice 7.
Ce sujet pr´esente l’´etude d’une suite implicite associ´ee `a une suite de fonctions d´efinie par une expression int´egrale.
Exercice 8 (ECRICOME 2020).
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