6.5 1) On donne uk

6.5 1) On donne u_k= 1

2k . Posons v_k = 1 k.

k→+∞lim u_k

v_k = lim

k→+∞

1 2k

1 k

= lim

k→+∞

k

2k = lim

k→+∞

1 2 = 1

2 Comme la série harmonique de terme vk = 1

k diverge, la série de terme u_k= 1

2k diverge également.

3) On donne u_k= 1

pk(k+ 1). Posons v_k = 1 k.

k→lim+∞

u_k

v_k = lim

k→+∞

1 pk(k+ 1)

1 k

= lim

k→+∞

k

pk(k+ 1) = lim

k→+∞

√ k k²+k

= lim

k→+∞

√k

k² = lim

k→+∞

k

|k| = lim

k→+∞

k k = 1 Étant donné que la série harmonique de termev_k= 1

k diverge, la série de termeuk = 1

pk(k+ 1) diverge aussi.

4) On donne u_k= k+ 2

k(k+ 1). Posons v_k = 1 k.

k→+∞lim u_k vk

= lim

k→+∞

k+ 2 k(k+ 1)

1 k

= lim

k→+∞

k+ 2

k+ 1 = lim

k→+∞

k k = 1 Puisque la série harmonique de terme vk = 1

k diverge, il en va de même pour la série de terme u_k= k+ 2

k(k+ 1). 5) On donne u_k= 1

k²+ 1 . Posons v_k = 1 k² .

k→lim+∞

u_k

v_k = lim

k→+∞

1 k²+ 1

1 k²

= lim

k→+∞

k²

k²+ 1 = lim

k→+∞

k² k² = 1 Vu que la série de terme v_k = 1

k² converge, la série de terme u_k = 1 k²+ 1 est elle aussi convergente.

6) On donne u_k= 1

10k+ 1. Posons v_k= 1 k.

Analyse : critères de convergence d’une série Corrigé 6.5

k→+∞lim u_k

v_k = lim

k→+∞

1 10k+ 1

1 k

= lim

k→+∞

k

10k+ 1 = lim

k→+∞

k

10k = 1 10 Comme la série harmonique de terme v_k = 1

k diverge, de même la série de terme u_k= 1

10k+ 1 diverge.

Analyse : critères de convergence d’une série Corrigé 6.5