la somme de ses chiffres est le nombre total des chiffres deN, soit 10

Enoncé E209 (Diophante) Les nombres distillés

On écrit un nombre N à 10 chiffres qui ne comportent pas 10 fois le même chiffre (ex : 3 333 333 333) ou qui n’ont pas des chiffres tous différents (ex : 3 706 589 421). On écrit ensuite le nombre dit « distillé » formé dans l’ordre par le nombre de chiffres 0, le nombre de chiffres 1, etc., le nombre de chiffres 9. On répète l’opération jusqu’à avoir une situation stabilisée caractérisée par un nombre terminal ou par un cycle fermé de deux nombres distillés ou plus.

Q1 Déterminer toutes les situations stabilisées.

Q2 Quel est le plus petit nombre de distillations qui permette d’obtenir une situation stabilisée, quel que soit l’entier N de départ ? Est-ce le même pour les diverses situations stabilisées ?

Q3 Dénombrer (de préférence autrement que par énumération brutale sur ordinateur) les entiers N selon la situation stabilisée où ils conduisent, avec subdivision par nombre de distillations nécessaires pour atteindre cette situation.

Pour les plus courageux : étendre le problème en donnant des exemples avec les nombres de b chiffres en baseb.

Solution de Jean Moreau de Saint-Martin

Je note d(N) le résultat de la première distillation de N, ou distillat ; la somme de ses chiffres est le nombre total des chiffres deN, soit 10.

Répétant l’opération sur d(N), j’obtiens le 2-distillat d(d(N)) = d²(N) ; s’il présente le chiffrep au rangq (je compterai toujours les rangs à partir de 0 et à partir de la gauche), c’est que le chiffreq figurepfois dansd(N), et N contient, entre autres, p chiffres distincts présents chacun q fois ; ce sont donc pq chiffres de N qui sont engendrés par le chiffre p au rang q dans le 2-distillat.

Ecrivant le 2-distillat a₀a₁. . . a₉, le nombre de chiffres de N est 10 = P

kka_k.

Tout 2-distillat a au moins cinq zéros ; en effet, s’il en avait moins, au

moins six desa_k seraient≥1, et même si les kcorrespondants allaient de 0 à 5,^P_kkak≥0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15>10, contradiction.

Il en résulte qu’un 3-distillat possède un premier chiffre (a₀) au moins égal à 5, et qu’un 4-distillat a un chiffre non nul à un rang≥5.

Ces conditions limitent sévèrement le nombre des 4-distillats : il n’y en a que 17, le rang≥5 s’attribuant la grosse part de la somme^P_kka_k. Il suffit de voir comment les distillations suivantes concentrent encore da- vantage l’ensemble des résultats, jusqu’à l’obtention (inévitable puisque on reste dans un ensemble fini) de point fixe ou de cycle parcouru pério- diquement.

Dans les schémas suivants, le distillat (résultat de la distillation) est placé au-dessous du nombre soumis à distillation, à cela près que les lignes ho- rizontales jouent le rôle d’accolades là où plusieurs nombres (placés sur la même ligne) ont le même distillat.

Première situation stabilisée, aboutissement de 4 des 17 (candidats) 4- distillats : le nombre limite 6210001000, autoréférent.

5310010000

6201010000 6120010000 6210001000

En fait, 5310010000 n’est pas un 4-distillat, ni même un 3-distillat : son antécédent le plus “proche” d’un 2-distillat est 5211100000, mais malgré ses cinq zéros ^P_kka_k >10. 5310010000 est le 2-distillat d’un nombre du type abcddeeeee, par exemple. Les nombres de la seconde ligne donnent lieu à un raisonnement analogue montrant que ce sont au mieux des 3- distillats (deabcdddeeee etabccdddeeerespectivement, par exemple).

Ainsi quand N conduit à ce nombre limite, celui-ci apparaît dès le 4- distillat.

Seconde situation stabilisée, aboutissement des 13 autres (candidats) 4- distillats : alternance entre 6300000100 et 7101001000.

Voir schéma page suivante.

A l’origine du plus long parcours vers cette situation, le nombre 8000020000 n’est pas un 4-distillat : son antécédent 2-distillat est 5050000000, qui a lui-même comme antécédent (à l’ordre des chiffres près) 2222200000. Ce dernier est distillat d’un nombre de la forme aabbccddee, dont 8000020000 est le 3-distillat et 6300000100 le 7-distillat.

8000020000

8100000001 8010000010 8001000100 8000101000

5400001000 7020001000 7200000010

7100110000 7011010000 7110000100 6300000100

7101001000 6300000100

Pour être un peu plus longue, la liste complète des 2-distillats est néan- moins accessible (23 termes en sus des 17 déjà trouvés). Cela ouvre la voie au dénombrement des entiers N par situation terminale et par distance à cette situation. Ainsi je distingue 3 situations : le nombre limite, l’entrée dans le cycle par 7101001000 et l’entrée dans le cycle par 6300000100.

Pour chacun des 40 d²(N) possibles, on établit le nombre #N des entiers correspondants à partir de la remarque déjà faite : si d²(N) contient le chiffre a_k au rang k, d(N) contient a_k fois le chiffre k, et il existe dans N a_k chiffres distincts présents chacun k fois. Par exemple, si d²(N) = 4321000000, d(N) = 0000111223 à l’ordre des chiffres près, et N est de la forme abcddeef f f à l’ordre des chiffres près. Le nombre de façons de prendre, parmi 10 chiffres, un ensemble {a, b, c}, une paire {d, e}, et un singleton {f} est 10!

3!2!1!4!. Le nombre de façons de choisir les rangs où placer ces chiffres dansN est 10!

1!1!1!2!2!3!. Sid²(N) = 6300000100,d(N) = 0000001117 à l’ordre des chiffres près, et N est de la formeabcddddddd à l’ordre des chiffres près. Le nombre de façons de prendre, parmi 10 chiffres, un ensemble {a, b, c} et un singleton {d} est 10!

3!1!6!. Le nombre de façons de choisir les rangs où placer ces chiffres dans N est 10!

1!1!1!7!.

De manière générale, #N est le produit des #1 = 10!

Q

k(a_k!) choix pour les chiffres deN et #2 = 10!

Q

k(k!)^ak choix pour leurs rangs.

N à distancek de 6210001000 =d^k(N)

k d²(N) #1 #2 #N

0,1,2 6210001000 2520 2520 6350400 3 6120010000 2520 7560 19051200

6201010000 2520 5040 12700800 4 3511000000 5040 302400 1524096000

5131000000 5040 75600 381024000 5212000000 7560 50400 381024000 5220100000 7560 37800 285768000 5301100000 5040 25200 127008000 5310010000 5040 15120 76204800

N à distance kdu cycle où la suite entre par 7101001000 =d^k(N), avant d’arriver à 6300000100.

k d²(N) #1 #2 #N

0,2 7101001000 720 840 604800 3 3600100000 840 151200 127008000

6030100000 840 18900 15876000 6103000000 840 16800 14112000

N à distance kdu cycle où la suite entre par 6300000100 =d^k(N), avant d’arriver à 7101001000.

k d²(N) #1 #2 #N

0,2 6300000100 840 720 604800 3 7011010000 720 2520 1814400

7100110000 720 1260 907200

7110000100 720 360 259200

4 2701000000 360 604800 217728000 4500010000 1260 30240 38102400 5400001000 1260 5040 6350400 7002100000 360 4200 1512000 7010200000 360 3150 1134000 7020001000 360 1260 453600

7200000010 360 90 32400

5 1810000000 90 1814400 163296000 2620000000 1260 907200 1143072000 3430000000 4200 453600 1905120000 4240000000 3150 226800 714420000 4402000000 3150 100800 317520000 6022000000 1260 25200 31752000 6111100000 5040 12600 63504000 6200200000 1260 6300 7938000

8000101000 90 210 18900

8001000100 90 120 10800

8010000010 90 45 4050

8100000001 90 10 900

6 4321000000 12600 151200 1905120000 4410100001 6300 75600 476280000

8000020000 45 252 11340

7 5050000000 252 113400 28576800

On obtient ainsi la statistique d’ensemble par situation stabilisée et par distance k au point d’entrée dans cette situation.

k 6210001000 7101001000 6300000100 Σ

0 1 1 1 3

1 2519 719 839 4077

2 6347880 604080 603960 7555920

3 31752000 156996000 2980800 191728800

4 2775124800 265312800 3040437600

5 4346656650 4346656650

6 2381411340 2381411340

7 28576800 28576800

Σ 2813227200 157600800 7025543190 9996371190

Le total général vaut 10¹⁰−10!−10, ce qui correspond à l’exclusion des nombres formés de 10 chiffres différents et des nombres comportant 10 fois le même chiffre.

Les mêmes raisonnements s’appliquent en base b pour se ramener à un ensemble restreint de 4-distillats, permettant une vue exhaustive des si- tuations stabilisées.

En base b <10, les situations stabilisées sont données par le tableau sui- vant, sous la forme (u) pour un nombre-limite, sous la forme (u, v, w) pour un cycle limite oùv est distillat deu,wdistillat de u,udistillat de w.

b

4 (2020); (1210)

5 (21200)

6 (230100,311100)

7 (4110100,3300100,4102000) 8 (42101000); (43000100,51011000) 9 (521001000); (530000100,610101000)