A383 –De belles collections de palindromes [*** à la main]
Q₁ Zig calcule la somme S de tous les entiers palindromes de n chiffres et constate que S se termine par 17 zéros. Déterminer l’entier n qu’il a choisi et la somme S qu’il a obtenue.
Q₂ Démontrer que quelle que soit la valeur de n, la somme des chiffres de la somme de tous les entiers palindromes de n chiffres est une constante.
Q₃ Existe-t-il un entier m tel que la somme de tous les entiers palindromes de m chiffres se termine par 2019 zéros ? par 2020 zéros ? par 2021 zéros ?
Solution proposée par Daniel Collignon Préambule
Combien y a-t-il de palindromes à n>1 chiffres ? Si n=2k, alors il y en a 9*10^(k-1)
Si n=2k+1, alors il y en a 9*10^k
Si nous acceptions les palindromes à n chiffres commençant et se terminant par un 0, alors nous aurions une équirépartition des chiffres, de sorte que la somme des palindromes vaudrait :
s_{2k} = 10^(k-1)*(0+…+9)*(1+10+…+10^(2k-1)) = 10^(k-1)*5*(10^(2k)-1) s_{2k+1} = 10^k*(0+…+9)*(1+10+…+10^(2k) = 10^k*5*(10^(2k+1)-1)
Mais il faut retrancher ceux commençant et se terminant par 0, ce qui correspond à 10 fois la somme des palindromes à n-2 chiffres.
Finalement :
s_{2k}-10*s_{2(k-1)} = 495*10^(3k-3) s_{2k+1}-10*s_{2k-1} = 495*10^(3k-1)
Q1 : 17 n'étant pas un multiple de 3, nous sommes dans le 2ème cas avec 3k-1=17, d'où k=6, et n=2k+1=13 Q2 : La constante vaut 4+9+5=18
Q3 : 2019 étant un multiple de 3, nous sommes dans le 1er cas avec 3(k-1)=2019, d'où k=674 et m=2k=1348 2020 est une valeur non atteinte (car congrue à 1 modulo 3)
2021 : nous sommes dans le 2ème cas avec 3k-1=2021, d'où k=674 et m=2k+1=1349
