A383*** - De belles collections de palindromes Q1

A383*** - De belles collections de palindromes

Q1 - Zig calcule la somme S de tous les entiers palindromes de n chiffres et constate que S se termine par 17 zéros. Déterminer l’entier n qu’il a choisi et la somme S qu’il a obtenue.

Q2 - Démontrer que quelle que soit la valeur de n, la somme des chiffres de la somme de tous les entiers palindromes de n chiffres est une constante.

Q3 - Existe-t-il un entier m tel que la somme de tous les entiers palindromes de m chiffres se termine par 2019 zéros ? par 2020 zéros ? par 2021 zéros ?

Proposition de Marc Humery

1/ Définition d’un entier palindrome En

Un entier palindrome En est un entier dont la suite de ses n chiffres est identique quand elle est lue de gauche à droite ou de droite à gauche

Exemples : E6 = (abccba) = abc|cba ; E7 = (abcdcba) = abc|d|cba

2/ Règle de construction des entiers palindromes En (n > 2) a) n = 2k chiffres (k > 0)

E2k = u1u2 … uk-1uk|uk+1uk+2 … u2k-1u2k => u1 = u2k ; … ; uk = uk+1 (propriété de symétrie miroir) E2k = 10^2k-1u1 + 10^2k-2u2 + … +10^kuk + 10^k-1uk+1+ …+ 10²u2k-2 + 10¹u2k-1 + 10⁰u2k

E2k = (10^2k-1u1+u2k) + (10^2k-2u2+10u2k-1) + … + (10^kuk+10^k-1uk+1) E2k = (10^2k-1u1+u1) + (10^2k-2u2+10u2) + … + (10^kuk+10^k-1uk) E2k = (10^2k-1+1)u1 + (10^2k-2+10)u2 + … + (10^k+10^k-1)uk E2k = ∑^j=k_j=1(10^2k-j+10^j-1)uj

On pose : Aj = (10^2k-j+10^j-1)

E2k = ∑^j=k_j=1Ajuj = A1u1 + A2u2 + … + Akuk (I)

NB : S2k multiple de 11

E2k = u1u2 … uk-1uk|uk+1uk+2 … u2k-1u2k => u1 = u2k ; u2 = u2k-1 ; … ; uk = uk+1

u1-u2+…-uk-1+uk-uk+1-uk+2+…+u2k-1-u2k = (u1-u2k)-(u2-u2k-1)+…+(uk-uk+1) = 0  E2k multiple de 11 Tout E2k étant un multiple de 11, leur somme S2k est aussi un multiple de 11

b) n = 2k+1 chiffres (k > 0)

E2k+1 = u1u2 … uk-1uk|uk+1|uk+2uk+3 … u2ku2k+1 => u1 = u2k+1 ; u2 = u2k ; … ; uk = uk+2 ; uk+1 seul E2k+1 = 10^2ku1 + 10^2k-1u2 + … +10^k-1uk + 10^kuk+1+ …+ 10²u2k-1 + 10¹u2k + 10⁰u2k+1

E2k+1 = (10^2ku1+10⁰u2k+1) + (10^2k-1u2+10¹u2k) + … + (10^k-1uk+10^k+1uk+2) + 10^kuk+1

E2k+1 = (10^2k+10⁰)u1 + (10^2k-1+10¹)u2 + … + (10^k-1+10^k+1)uk + 10^kuk+1

E2k+1 = ∑^j=k_j=1(10^2k+1-j+10^j-1)uj + 10^kuk+1 On pose : Aj = (10^2k-(j-1)+10^j-1) ; Ak+1 = 10^k

E2k+1 = ∑^j=k+1_j=1 Ajuj = A1u1 + A2u2 + … + Akuk + Ak+1uk+1 (II)

3/ Étude des nombres de la forme E(m) = ∑^j=m_j=1 Ajuj = A1u1 + A2u2 +…+ Amum a) Attribution particulière des nj valeurs de uj valables pour tout m j = 1 ; u1 = 1 à p => n1 = p

j = 2 à m ; uj = 0 à p => nj = (p+1)

b) Valeurs d’entités résultantes des propriétés spécifiques de uj

∑ 1_Uj = nj ; ∀uj ∑ Uj_Uj = S = p(p+1)/2

c) Propriétés de l’opérateur sommatoire ∑ i ≠ j ; ∑ A_Uj iui = Aiui∑ 1_Uj = Aiuinj

i = j ; ∑ A_Uj juj = Aj∑ u_Uj j = AjS

4/ Détermination des sommes T(m) = T[E(m)] = ∑Um …∑U2 ∑U1 ∑^j=m_j=1 Ajuj

T(m) = ∑Um … ∑U2 ∑ (_U1 A1u1 + A2u2 + … + Amum) = ∑Um …∑ (_U2 A1S + A2n1u2 + … + Amn1um) T(m) = ∑Um …∑ (_U3 A1Sn2 + A2n1S +A3n1n2u3 + … + Amn1n2um)

T(m) = ∑Um …∑ (_U4 A1n2n3S + A2n1n3S + A3n1n2S + … + Amn1n2n3um)

T(m) = A1(n2n3…nm)S + A2(n1n3…nm)S + A3(n1n2…nm)S + … + Am(n1n2n3…nm-1)S On pose : Pm = n1n2n3…nm

T(m) = [A1(Pm/n1) + A2(Pm/n2) + … + Am(Pm/nm)]S = (∑^j=m_j=1 Aj/nj)PmS D’autre part : n1 = p ; nj = p+1 (j > 1) ; Pm = p(p+1)^m-1 ; S = p(p+1)/2 On établit la formule générale :

T(m) = T[E(m)] = [A1 + p∑^j=m_j=1 Aj].(p+1)^m-2p(p+1)/2 (III)

5/ Détermination des sommes Sn(p) déduites des sommes T(m) a) n = 2k ; m = k ; Aj = (10^2k-j+10^j-1) ; E(k) = E2k = ∑^j=k_j=1Ajuj

T(m) -> T(k) = T(E2k) = S2k = [(10^2k-1+1) + p∑^j=k_j=1(10^2k-j+10^j-1)](p+1)^k-2p(p+1)/2 Comme : ∑^j=k_j=110^2k-j = 10^k(10^k-1)/9 ; ∑^j=k_j=1(10^j-1) = (10^k-1)/9

∑^j=k_j=1(10^2k-j+10^j-1) = (10^k+1)(10^k-1) = 10^2k-1

[(10^2k-1+1) + p∑^j=k_j=1(10^2k-j+10^j-1)] = 10^2k-1 + 1 + (10^2k-1)p/9

S2k = [10^2k-1 + 1 + (10^2k-1)p/9](p+1)^k-2p(p+1)/2 avec k > 0 (IV)

b) n = 2k+1 ; m = k+1 ; Aj = (10^2k-(j-1)+10^j-1) ; Ak+1 = 10^k ; E(k+1) = E2k+1 = ∑^j=k+1_j=1 Ajuj T(m) -> T(k+1) = T(E2k+1) = S2k+1 = [(10^2k+1) + p∑^j=k_j=1(10^2k-(j-1)+10^j-1) + 10^kp](p+1)^k-1p(p+1)/2 Comme : ∑^j=k_j=1(10^2k-(j-1)) = 10^k+1(10^k-1)/9 ; ∑^j=k_j=1(10^j-1) = (10^k-1)/9

∑^j=k_j=1(10^2k-(j-1)+10^j-1) = (10^k+1+1)(10^k-1)/9 = (10^2k+1-10^k+1+10^k-1)/9

p∑^j=k_j=1(10^2k-(j-1)+10^j-1) + 10^kp = [(10^2k+1-10^k+1+10^k-1) + 9 x 10^k]p/9 = (10^2k+1-1)p/9 [(10^2k+1) + p∑^j=k_j=1(10^2k-(j-1)+10^j-1) + 10^kp] = [10^2k + 1 + (10^2k+1-1)p/9]

S2k+1 = [10^2k + 1 + (10^2k+1-1)p/9](p+1)^k-1p(p+1)/2 (V)

6/ Expression des sommes Sn(p) avec p = 9 a) n = 2k ; k > 0

S2k = [10^2k-1 + 1 + (10^2k-1)]10^k-2 x 45 = (10^2k + 10^2k-1)10^k-2 x 45 = 10^2k-1+k-2 (10 + 1) x 45 = 11 x 45 x 10^3(k-1) S2k = 495 x 10^3(k-1) (VI)

b) n = 2k+1 ; k > 0

S2k+1 = [10^2k + 1 + (10^2k+1-1)]10^k-1 x 45 = (10^2k+1 + 10^2k)10^k-1 x 45 = 10^2k+k-1(10+1) x 45 = 11 x 45 x 10^3k-1 S2k+1 = 495 x 10^3k-1 (VII)

Cas spécial : n = 1 ; k = 0 ; E1 = {0, 1, 2, …, 9} => S1 = (0+1+…+9) = 45

NB : quantité Qn d’entiers palindromes En à n chiffres (n > 0) n pair ; Qn = 9 x 10^(n-2)/2

n impair Qn = 9 x 10^(n-1)/2

Q1 - La somme Sn de tous les entiers palindromes En de n chiffres se termine par 17 zéros. Déterminer l’entier n et la somme Sn

1/ Expressions des sommes Sn de tous les entiers palindromes En de n chiffres n = 2k ; S2k = 495 x 10^3(k-1) => n pair ; Sn = 495 x 10^3(n-2)/2

n = 2k+1 ; S2k+1 = 495 x 10^3k-1 => n impair ; Sn = 495 x 10^(3n-5)/2

2/ Nombre Zn de zéros de la somme Sn

n = 2k ; Z2k = 3(k-1) => n pair ; Zn = 3(n-2)/2 n = 2k+1 ; Z2k+1 = 3k-1 => n impair ; Zn = (3n-5)/2

3/ Application : somme Sn se termine par Zn = 17 zéros Zn = 17 impair ; Zn = (3n-5)/2 = 17 => n = 13 => S13 = 495 x 10¹⁷

Résultat : n = 13 ; S13 = 495 x 10¹⁷

Q2 - Démontrer que quelle que soit la valeur de n, la somme des chiffres de la somme Sn de tous les entiers palindromes de n chiffres est une constante.

On a démontré que pour k > 0, on a : S2k = 495 x 10^3(k-1) => 4+9+5 + 0 +… = 18 S2k+1 = 495 x 10^3k-1 => 4+9+5 + 0 +… = 18

Résultat : la somme des chiffres de la somme Sn de tous les entiers palindromes de n chiffres est une constante égale à 18 pour tout n > 1

Q3 - Existe-t-il un entier m tel que la somme de tous les entiers palindromes de m chiffres se termine par 2019 zéros ? par 2020 zéros ? par 2021 zéros ?

1/ Zm = 2 019 zéros

Zm impair ; Zm = (3m-5)/2 = 2 019 => m = 4 043/3 non entier => entier m n’existe pas

2/ Zm = 2 020 zéros

Zm pair ; Zm = 3(m-2)/2 = 2 020 => m = 4 046/3 non entier => entier m n’existe pas

1/ Zm = 2 021 zéros

Zm impair ; Zm = (3m-5)/2 = 2 021 => m = 1 349 => entier m = 1 349