A383. De belles collections de palindromes
Q1 Zig calcule la somme S de tous les entiers palindromes de n chiffres et constate que S se termine par 17 zéros.
Déterminer l’entier n qu’il a choisi et la somme S qu’il a obtenue.
Q2 Démontrer que quelle que soit la valeur de n > 1, la somme des chiffres de la somme de tous les entiers palindromes de n chiffres est une constante.
Q3 Existe-t-il un entier m tel que la somme de tous les entiers palindromes de m chiffres se termine par 2019 zéros ? par 2020 zéros ? par 2021 zéros ?
Solution
Il apparaît plus simple pour traiter ces 3 questions de traiter directement le cas général.
n pair
Considérons d’abord les palindromes de n chiffres avec n pair, n=2p
Il faut dénombrer la totalité des palindromes ; pour expliquer la méthode, prenons l’exemple de n=6, soit p=3 0 0 1 1 0 0
0 0 2 2 0 0 - - - -
BLOC A 0 1 0 0 1 0 BLOC C - - - -
0 9 8 8 9 0 0 9 9 9 9 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 - - - - 1 0 0 0 0 1
BLOC B - - - - BLOC D 9 0 0 0 0 9
- - - - 9 9 8 8 9 9 9 9 9 9 9 9
Nous constituons le Bloc A suivi du Bloc B en utilisant tous les nombres de 3 chiffres de 001 à 999.
Les Blocs C et D sont les symétriques des précédents.
Le Bloc B accolé au Bloc D donne ainsi tous les palindromes de 6 chiffres Pour traiter maintenant le cas général, posons
k=10
pLe bloc A est composé de tous les nombres <
10
p-1-
Leur somme vaut½ (k/10 -1)k/10
Le Bloc A + B est composé de tous les nombres <
10
p-
Leur somme vaut½ (k -1)k
Le Bloc C + D est composé de tous les nombres <
10
p-
Leur somme vaut½ (k -1)k
Le Bloc C est composé de tous les nombres de
p
chiffres se terminant par 0, l’ensemble de leursp-1
premiers chiffres donne tous les nombres <10
p-1La somme de ces nombres à
p-1
chiffres vaut½ (k/10 -1)k/10
Donc la somme du Bloc Cvaut
10
fois ce nombre, soit½ (k/10 -1)k
Nous en déduisons que :
La somme du Bloc B est :
½ (k -1)k - ½ (k/10 -1)k/10 = 99 k²/200 - 9 k/20
La somme du Bloc D est :
½ (k -1)k - ½ (k/10 -1)k = 9 k²/20
Donc la somme de tous les palindromes de n chiffres est k∑Bloc B+∑Bloc D
S
n= S
2p= 495 k
3/1000 = 495 10
3p-3n impair
Considérons maintenant les palindromes de n chiffres avec n impair, n=2p+1
Il faut dénombrer la totalité des palindromes ; pour expliquer la méthode, prenons l’exemple de n=7, soit p=3
0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 2 0 0 0
- - - -
BLOC A 0 1 0 0 0 1 0 BLOC C
0 1 0 1 0 1 0
0 1 0 2 0 1 0
- - - -
0 9 9 8 9 9 0
0 9 9 9 9 9 0
1 0 0 0 0 0 1
1 0 0 1 0 0 1
- - - - - -
BLOC B 1 0 1 0 1 0 1 BLOC D
1 0 1 1 1 0 1
1 0 1 2 1 0 1
- - - - - -
9 9 9 8 9 9 9
9 9 9 9 9 9 9
Nous constituons le Bloc A suivi du Bloc B en utilisant tous les nombres de 4 chiffres de 0001 à 9999.
Les Blocs C et D sont les symétriques des précédents en prenant uniquement les 3 premières colonnes.
Le Bloc B accolé au Bloc D donne tous les palindromes de 6 chiffres.
Pour traiter maintenant le cas général, posons
k=10
pLe bloc A est composé de tous les nombres <
10
p-
Leur somme vaut½ (k -1)k
Le Bloc A + B est composé de tous les nombres <
10
p+1-
Leur somme vaut½ (10k -1)10k
La somme du Bloc B est donc :
½ (10k -1)10k - ½ (k -1)k = 99 k²/2 - 9 k/2
Le Bloc D est composé des mêmes nombres que dans le cas précédent, mais chacun d’eux est répété 10 fois La somme du Bloc D vautdonc
9 k²/2
Donc la somme de tous les palindromes de n chiffres est k∑Bloc B+∑Bloc D
S
n= S
2p+1= 495 k
3/10 = 495 10
3p-1Résultat général
n pair soit n=2p alors S
n= 495 10
3p-3n impair soit n=2p+1 alors S
n= 495 10
3p-1Questions de l’énoncé
Question 1 :
On veut que Sn = 495.1017
Donc c’est la solution impaire qui convient avec 3p-1=17, soit p=6, d’où n=2p+1=13
n = 13
Question 2 :
Le résultat général montre que la somme des chiffres de la somme de tous les entiers palindromes de n chiffres (n>1) est une constante.
Cette somme est égale à 4+9+5=18
Question 3
En utilisant le résultat général, on peut construire le tableau suivant pour obtenir une somme se terminant par le nombre de zéros défini dans la première colonne de celui-ci :
n impair n pair
Valeur de p
avec 3p-1 n=2p+1 Valeur de p
avec 3p-3 n=2p
2017 Pas de solution
2018 673 1347
2019 674 1348
2020 Pas de solution
2021 674 1349
2022 675 1350
La somme de tous les entiers palindromes
- de 1348 chiffres se termine par 2019 zéros (m=1348) - de 1349 chiffres se termine par 2021 zéros (m=1349)
Il n’existe pas de palindrome dont la somme de tous les entiers se termine par 2020 zéros.
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