Enoncé A571 (Diophante) A la recherche du gogol
Q1 Déterminer la plus grande puissance de 10 obtenue en multipliant des entiers distincts ≤2016. Donner une liste de ces entiers aussi courte que possible.
Q2 Déterminer le plus petit entier n0 tel qu’on sait trouver des entiers distincts ≤n0 dont le produit est égal à un gogol = 10100.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Question 1
Les entiers utilisables sont de la forme 2m·5n. Voyons d’abord comment obtenir un exposant maximum pour 5.
Pour n= 4, 0≤m≤1 ; produit 2·58; Pour n= 3, 0≤m≤4 ; produit 210·515; Pour n≥3, produit 211·523;
Pour n= 2, 0≤m≤6 ; produit 221·514; Pour n≥2, produit 232·537;
Jusque-là, l’exposant de 2 ne dépasse pas celui de 5 ; mais il y aurait dépassement si on utilisait tous les entiers pour n = 1, 0 ≤ m ≤ 8 ; produit 236·59; il faut se limiter à 0≤m≤4 ; produit 210·55.
Si l’on n’utilisait pas en priorité les termes à grandnet petitm, on serait bloqué encore plus vite par la croissance de l’exposant de 2 au-delà de celui de 5.
Le produit de ces 2 + 5 + 7 + 5 = 19 entiers vaut alors 1042.
Liste des facteurs : 625, 1250 ; 125, 250, 500, 1000, 2000 ; 25, 50, 100, 200, 400, 800, 1600 ; 5, 10, 20, 40, 80.
Question 2
L’exposant nde 5 ne dépasse pas q=blnn0/ln 5c.
An donné, l’exposantm de 2 ne dépasse pas p=b(lnn0−nln 5)/ln 2c.
Le produit de ces p+ 1 termes est 2p(p+1)/2·5p+1.
A nouveau on utilise en priorité les termes à grandnet petitm, l’excédent des exposants de 2 étant le facteur limitant. Le tableau suivant montre comment obtenir un gogol avec n0 = 31250. Les lignes n et p traduisent la limitation par n0, la lignem sélectionnne dans l’intervalle [0..p] ce qui permet d’atteindre 100 comme exposant de 5 sans dépasser 100 comme exposant de 2, les lignesv5 etv2 sont les contributions à ces exposants.
Le gogol est le produit de 30 termes dont le plus grand est 31250.
n 6 5 4 3 2 1 0
p 1 3 5 7 10 12 14
m [0..1] [0..3] [0..5] [0..7] [0..4]∪[6..10] − −
v5 12 20 24 24 20 − −
v2 1 6 15 28 50 − −
Le tableau testantn0= 31249 est de même, pour n >2 :
n 6 5 4 3 2 1 0
p 0 3 5 7 10 12 14
m 0 [0..3] [0..5] [0..7] − − −
v5 6 20 24 24 − − −
v2 0 6 15 28 − − −
Retenantr termesn= 2, (0≤m≤r−1), on a 74 + 2rpour exposant de 5 et 49 +r(r−1)/2 pour exposant de 2. Pour atteindre l’exposant 100 pour 5, il faut prendre 26−2r termes dans la colonne n= 1, ce qui conduit à l’exposant de 2
49 +r(r−1)/2 + (25−2r)(13−r) = (5r2−103r)/2 + 374, expression≥109 pour toutr entier.
Les valeursn0 <31249 donneraient lieu à des difficultés analogues, voire à l’impossibilité d’atteindre l’exposant 100 pour 5 sin0<20000.
En conclusion,n0 = 31250.
