Enoncé E141 (Diophante) Les suites du millésime
Q1 On considère la suite d’entiers 1,1,2,3,5,8,4,3,7,1,8,9,. . . Déterminer le 2021ième terme.
Q2Combien y a-t-il de suites distinctes d’entiers consécutifs dont la somme est égale à 2021 ?
Nota : les deux questions sont indépendantes.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin Question 1
L’énoncé n’explicite pas la loi de formation de cette suite ; les six premiers termes sont ceux de la suite de Fibonacci ; dans les termes suivants, il ap- paraît que la somme obtenue avec les deux derniers termes a été remplacée, quand elle dépasse 9, par la somme de ses chiffres.
Admettant que la règle de formation de la suite est bien celle-là, la suite se poursuit par
8,8,7,6,4,1,5,6,2,8,1,9,1,1,2. . .
et met en évidence une périodicité : les termes de rang 25 et 26 reproduisent les termes de rang 1 et 2, ce qui se répercute sur la suite : elle est périodique, de période 24.
Comme 2021 = 5 + 84×24, le deux-mille-vingt et unième terme est iden- tique au cinquième, qui est 5.
Question 2
Les entiers consécutifs de a à b sont en nombre b−a+ 1 et ont pour moyenne (a+b)/2.
On veut avoir 2021 = (b−a+ 1)(a+b)/2, donc (b−a+ 1)(a+b) = 2·43·47.
Comme 1 < b−a+ 1 < b+a (si a = b, ce n’est pas une suite), les factorisations qui conviennent sont
b−a+ 1 = 2,a+b= 2021, la suite va de 1010 à 1011.
b−a+ 1 = 43, a+b= 94, la suite va de 26 à 68.
b−a+ 1 = 47, a+b= 86, la suite va de 20 à 66.
b−a+ 1 = 86, a+b= 47, la suite va de−19 à 66.
b−a+ 1 = 94, a+b= 43, la suite va de−25 à 68.
b−a+ 1 = 2021,a+b= 2, la suite va de−1009 à 1011.
b−a+ 1 = 4042,a+b= 1, la suite va de−2020 à 2021.
La factorisation b−a+ 1 = 1, a+b = 4042, conduit au terme unique a=b= 2021, qu’on ne peut qualifier de suite d’entiers consécutifs1. Il y a donc sept suites répondant à la question.
1. tant du fait du pluriel “entiers consécutifs” que du mot consécutif, qui ne peut s’appliquer à un terme isolé.
