A 571. A la recherche du gogol. ***
Q1 Déterminer la plus grande puissance de 10 obtenue en multipliant des entiers distincts ≤ 2016.
Donner une liste de ces entiers aussi courte que possible.
Q2 Déterminer le plus petit entier n₀ tel qu'on sait trouver des entiers distincts ≤ n
0dont le produit est égal à un gogol = 10
100.
Solution proposée par Michel Lafond
Q1 5 . 10 . 20 . 25 . 40 . 50 . 80 . 100 . 125 . 200 . 250 . 400 . 500 . 625 . 800 . 1000 . 1250 . 1600 . 2000 = Q2 n0 = 31250
Solution
Tableau des diviseurs de 2016 de la forme :
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 210
50 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024
51 5 10 20 40 80 160 320 640 1280
52 25 50 100 200 400 800 1600
53 125 250 500 1000 2000
54 625 1250
Q1 Si on multiple tous ces diviseurs, on obtient On ne pourra donc pas obtenir plus de .
Dans P, les facteurs 2 sont beaucoup trop nombreux, et on peut supprime tous les diviseurs c’est-à-dire ceux de la première ligne du tableau.
On obtient alors
Il faut supprimer des diviseurs avec a grand et b petit.
Si on supprime 160 = 25 5, 320 = 26 5, 640 = 27 5, et 1280 = 28 5, il reste 19 diviseurs de produit
Je propose donc de prendre
5, 10, 20, 25, 40, 50, 80, 100, 125, 200, 250, 400, 500, 625, 800, 1000, 1250, 1600, 2000 de produit
Q2 En procédant de la même manière, j’obtiens dans dépasser en multipliant
5, 20, 25, 40, 50, 80, 100, 125, 160, 200, 250, 256, 320, 400, 500, 625, 800, 1000, 1250, 2000, 2500, 3125, 3200, 4000, 5000, 6250, 8000, 10000, 12500, 15625, 16000, 20000, 25000, 31250.
