E60396. Tous diviseurs
On place n nombres entiers positifs aux sommets d’un polygone convexe de telle manière que chaque nombre est un diviseur de la somme des deux nombres qui lui sont adjacents. Les quotients correspondants constituent une suite de nnombres entiers dont la somme est S.
Quelles sont les valeurs extrêmes possibles de S? Solution
Une configuration possible est formée dennombres égaux, d’oùnquotients 2,S= 2n.
Sinon, le plus grand desnnombres, notég, ne peut être qu’égal à la somme f+h de ses voisins (quotient 1). Si la séquence des nombres est e, f, g, h, i, la configuration à n−1 nombres où on a enlevég a encore la propriété de divisibilité de l’énoncé : f divisant e+g = e+ (f +h) divise aussi e+h, et de même h divise f +i. Mais les quotients par f et h diminuent de 1 par rapport à la configuration d’origine, et le quotient 1 parg disparaît. La nouvelle somme est S−3.
Ce procédé de réduction laisse invariant 3n−S. S’il s’arrête après kréduc- tions, laissant n−k nombres égaux, l’invariant vaut 3(n−k)−2(n−k), d’oùS = 2n+k.
Il peut y avoir jusqu’àn−1 réductions, d’oùS est compris entre 2net 3n−1 (nombres en progression de 1 àn, par exemple : le quotient par nest 1, le quotient par 1 est n+ 2, lesn−2 autres quotients valent 2).
