D 280. Les polygones diophantiens.
On dit que P est un polygone diophantien de diamètre D s’il est convexe, si tous ses côtés sont mesurés par des entiers positifs, et s’il est inscrit dans un cercle de diamètre D entier.
P est dit centré si le centre O du cercle est intérieur à P ;
P est dit diamétral si O est sur la frontière de D (autrement dit l’un des côtés est égal à D) ; P est dit excentré si le centre O du cercle est extérieur à P.
Voici un beau spécimen de polygone diophantien centré de diamètre 9 :
Questions :
Recenser tous les polygones diophantiens de diamètres inférieurs ou égaux à 10.
Trouver un polygone diophantien excentré.
Solution proposée par Michel Lafond:
Pour un diamètre D donné, il n’y a qu’un nombre fini de côtés pour le polygone, à savoir c {1, 2, 3, --- , D}.
Si on note a le demi-angle au centre interceptant le côté c, on a sin (a) = c / D donc :
a = sin– 1( c / D) [ou – sin– 1( c / D) si l’angle au centre dépasse , ce qui ne peut se produire qu’une fois].
Comme la somme des angles au centre doit être égale à 2, il n’y a pour un diamètre D donné qu’un nombre fini de solutions. Une exploration avec l’aide d’un ordinateur, donne les polygones diophantiens ci-dessous.
Pour chaque solution donnée par ordinateur, on peut apporter une preuve par le calcul comme on le verra dans le dernier exemple.
3
3
7
6 6 1
Diamètre 9
a
D
c
Diamètre 2 : 2 solutions, un centré, un diamétral.
Diamètre 3 : Pas de solution
Diamètre 4 : 2 solutions, un centré, un diamétral.
Diamètre 5 : 2 solutions, un centré, un diamétral.
Diamètre 6 : 2 solutions, un centré, un diamétral.
Diamètre 7 : Pas de solution
1 1 1
1 1
1
1 1 1
2
2 2
2 2
4 2
2
2 2
2
3 4 3 4
5 3
4
3 3
3 3
6 3
3
3 3
3
Diamètre 8 : 5 solutions, trois centrés, deux diamétraux.
Diamètre 9 : 5 solutions, trois centrés, deux diamétraux.
2 2 2
2
7
7 2
2 4
4
4 7
4
4
4 4 4
4
2 2
7
4 4
4
8 8
7 3
3
3
3
7
1 1
6 6
6 6
1 3 7
3
6 6
3 7 3
9 9
1
6 6
Diamètre 10 : 5 solutions, trois centrés, deux diamétraux.
Complément :
Pour les diamètres 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 on a respectivement 0, 2, 2, 10, 2, 18, 2 solutions.
Il faut aller jusqu’au diamètre 14 pour trouver un polygone diophantien excentré :
Démonstration : Si on nomme a, b, c les demi-angles au centre associés respectivement aux côtés 2, 11 et 13 alors on a : sin (a) = 1 / 7 sin (b) = 11 / 14 et sin (c) = 13 / 14.
6 8
10
6 8
6
8 5
5 5
5 5 5
5
6 8
5
5 5
5
5 5
5
10
13 2
2 11
Diamètre 14
Or sin (2a) = 2 sin (a) cos (a) = 3 49
8 49 1 1 7
21
sin (2a + b) = sin (2a) cos(b) + sin (b) cos (2a) = sin( )
14 13 49
8 . 1 3 14 11 14 1 11 49 3
8
2 2 2
2
c
Ce qui prouve bien que 2 a + b + c = .
La vérification par le calcul est absolument indispensable car on risque de rencontrer la situation suivante : à moins d’un dix-millième près, l’ordinateur donne le polygone ci-dessous :
Mais il ne s’agit pas d’un polygone diophantien car :
sin– 1( 2 / 11) + sin– 1( 9 / 11) + ( – sin– 1( 10 / 11)) = 3,141572718...
qui n’est pas égal à = 3,141592654... !
La figure ci-dessus est donc fausse.
10 2
9
Diamètre 11
