G256. Les diviseurs non divisibles
Trouver le plus grand nombre possible n de nombres entiers positifs qui sont des diviseurs de 20107 tels que chacun d’eux ne divise pas les n – 1 autres.
Solution proposée par Antoine Vanney
2010 = 2.3.5.67
Les diviseurs de 20107 sont de la forme 2a3b5c67d avec a, b, c et d entre 0 et 7.
Un diviseur ne divise pas un autre si les différences des exposants ne sont pas toutes de même signe.
Ainsi si l’on prend a+b+c+d = n, aucun des diviseurs vérifiant cette condition ne divise un autre vérifiant la même condition.
n compris entre 0 et 28. Le nombre maximum de diviseurs est obtenu pour n=14, du fait de la symétrie du nombre de diviseurs par rapport à 14 (2a3b5c67d = 27-a’37-b’57-c’677-d’ et a+b+c+d = 28-(a’+b’+c’+d’)).
Pour trouver le nombre de diviseurs lorsque n=14, on regarde les combinaisons possibles de a, b, c et d (par exemple 5-5-3-1) et pour chacune le nombre de permutations possibles. On arrive ainsi à 344 diviseurs.
344 est donc le plus grand nombre possible.
Combinaisons (permutations) :
7-7-0-0 (6) / 7-6-1-0 (24) / 7-5-2-0 (24) / 7-5-1-1 (12) / 7-4-3-0 (24) / 7-4-2-1 (24) / 7-3-3-1 (12) / 7-3-2-2 (12) / 6-6-2-0 (12) / 6-6-1-1 (6) / 6-5-3-0 (24) / 6-5-2-1 (24) / 6-4-4-0 (12) / 6-4- 3-1 (24) / 6-4-2-2 (12) / 6-3-3-2 (12) / 5-5-4-0 (12) / 5-5-3-1 (12) / 5-5-2-2 (6) / 5-4-4-1 (12) / 5-4-3-2 (24) / 5-3-3-3 (4) / 4-4-4-2 (4) / 4-4-3-3 (6)
