A555. Des carrés en couple
Q1 : Les entiers strictement positifs p et q sont tels que les nombres 223p + 224q et 224p – 223q sont tous les deux des carrés parfaits strictement positifs. Trouver la valeur minimale du plus petit de ces deux carrés.
Q2 : La séquence des entiers n strictement positifs est telle que les nombres 62n+1 et 63n+1 sont tous les deux des carrés parfaits.Trouver le plus grand commun diviseur de tous ces entiers n.
Bonus pour les plus courageux : Un de ces entiers n est-il tel que 770n+13 est un nombre premier ?
• Q1 : Les entiers strictement positifs p et q sont tels que les nombres 223p + 224q et 224p – 223q sont tous les deux des carrés parfaits strictement positifs. Trouver la valeur minimale du plus petit de ces deux carrés.
223 + 224 = 224 − 223 =
⇒ 223
+ 224
− 99 905 = 0 224
− 223
− 99 905 = 0 avec 99 905 = 223
+ 224
223 et 224 interpellent, et sans même faire appel à Dario Alpern, on voit aisément que
= = = 99 905 est solution de 224
− 223
− 99 905 = 0 , d'où la valeur de
= 99 905
99 905 223 + 224 = 99905.447 = 44 657 535 Et la calculatrice confirme que ce sont bien les plus petites valeurs de et .
• Q2 : La séquence des entiers n strictement positifs est telle que les nombres 62n+1 et 63n+1 sont tous les deux des carrés parfaits. Trouver le plus grand commun diviseur de tous ces entiers n.
62 + 1 = 63 + 1 =
⇒ =
−
⇒ 63
− 62
− 1 = 0 = 1, = 1
"#$
= 125
"+ 124
" "#$= 126
"+ 125
"Donc
"#$et
"sont de même parité, donc de la parité de = 1 , donc, tous les
"sont impairs.
Il en va de même de tous les
".
"#$−
"#$= 126
"+ 125
"− 125
"+ 124
"= 251
"+ 62 500
""+ 249
"= 250
"+
"+ 62500
""−
"−
""
&'
"étant impairs,
"+
"= 2 + 1
+ 2 + 1
= 4( + 2 et 250
"+
"se termine par 500.
"
&'
"étant impairs,
""est impair et 62500
""se termine par 500.
Donc 250
"+
"+ 62500
""se termine par trois zéros.
Donc
"#$−
"#$se termine par les trois mêmes chiffres que 1000 −
"−
")*+ 1000
= 1, = 1
$
= 125 + 124 = 249
$= 126 + 125 = 251
$−
$= 63001 − 62001 = 1000 Donc, pour tout , ,
"−
", qui est égal à , est multiple de 1000.
= 0
$= 1000
-.$= 1000/
-⇒ le plus grand diviseur commun est 1000.
• Bonus pour les plus courageux : Un de ces entiers n est-il tel que 770n+13 est un nombre premier ?
Yes : = 0 donc 0 = 770 + 13 = 13 est premier.
No!, est strictement positif
La calculatrice est opiniâtre : elle a divisé tous les 0"= 770. "+ 13 par les 10000 premiers nombres premiers (de 3 à 104729), puis, avec l'aide de Miller et de Bach (pas Jean-Sébastien, l'autre), elle a cherché les 0" premiers, sans en trouver un seul jusqu'à , = 100
, nombre de
chiffres 0" plus petit div diviseurs 1ers ≤ 239 , nombre de
chiffres 0" plus petit div diviseurs 1ers ≤ 239
1 6 3 3 19 79 51 246 107 107 167
2 11 107 107 179 52 251 3 3 19 23
3 16 887 53 256 239 239
4 21 3 3 23 149 54 261 79 79
5 26 4 447 55 265 3 3 13 19 23
6 30 13 13 79 56 270 13 13 107 139
7 35 3 3 13 19 23 57 275 79 79
8 40 229 229 58 280 3 3
9 45 79 79 59 285 293
10 50 3 3 19 60 289 1 711 921 193 216 430
11 54 151 151 61 294 3 3 19
12 59 241 62 299 13 13 79
13 64 3 3 13 31 139 239 63 304 13 13
14 69 13 13 79 64 309 3 3 19 23 151
15 74 88 663 65 313 79 79
16 78 3 3 19 23 173 66 318 239 239
17 83 31 31 79 67 323 3 3 23
18 88 653 68 328 17 609
19 93 3 3 19 23 69 333 13 13 173
20 98 13 13 70 337 3 3 13 19 79 149
21 102 13 13 139 199 71 342 217 337
22 107 3 3 79 72 347 431
23 112 311 73 352 3 3 19 79
24 117 2 143 74 356 25 776 547
25 121 3 3 19 79 75 361 31 31
26 126 239 239 76 366 3 3 13 23
27 131 13 13 77 371 13 13 199
28 136 3 3 13 19 23 78 376 79 79
29 141 463 79 380 3 3 19 23 31 149
30 145 79 79 80 385 8 009
31 150 3 3 23 167 81 390 79 79
32 155 40 283 82 395 3 3 19
33 160 79 79 83 400 13 13 139
34 165 3 3 13 19 84 404 13 13
35 169 13 13 85 409 3 3
36 174 22 541 86 414 79 79 179
37 179 3 3 19 87 419 151 151
38 184 79 79 88 424 3 3 19 23
39 189 16 639 673 89 428 79 79
40 193 3 3 23 90 433 13 13
41 198 13 13 79 91 438 3 3 13 19 23 139 179
42 203 13 13 92 443 3 373
43 208 3 3 19 23 93 448 239 239
44 213 31 31 94 452 3 3 79
45 217 8 431 95 457 1 244 363
46 222 3 3 19 79 96 462 408 937 226 897
47 227 337 97 467 3 3 13 19 79
48 232 13 13 31 139 98 472 13 13
49 237 3 3 13 79 99 476 86 113
50 241 1 493 774 263 100 481 3 3 19 23
D'autre part, il semblerait que 0" soit divisible par : o 3 quand , = 3/ + 1
o 13 quand , = 7/ ou , = 7/ − 1 o 19 quand , = 9/ − 8 ou , = 9/ − 2 o 23 quand , = 12, − 8 ou , = 12, − 5 o 31 quand , = 31, − 18 ou , = 31, − 14 o 79 quand , = 8, − 7 ou , = 8, − 2 o 139 quand , = 35, − 22 ou , = 35, − 14
