Q1 : Les entiers strictement positifs p et q sont tels que les nombres 223p + 224q et 224p – 223q sont tous les deux des carrés parfaits strictement positifs. Trouver la valeur minimale du plus petit de ces deux carrés.
Q2 : La séquence des entiers n strictement positifs est telle que les nombres 62n+1 et 63n+1 sont tous les deux des carrés parfaits. Trouver le plus grand commun diviseur de tous ces entiers n.
Bonus pour les plus courageux : Un de ces entiers n est-il tel que 770n+13 est un nombre premier ?
Q1 - Soient 223p+224q=a2, 224p-223q=b2 : 224(p-b2)=223(q-b2) : 223 et 224 étant premiers entre eux, p=223k+b2, q=224k+b2, a2=((2232+2242)k+447b2 a2=99905k+447b2 ; or 99905=5*13*29*53 ; donc a2=447b2 modulo tout diviseur de 99905 ; 447 est égal à 2 mod 5, à 5 mod 13, à 12 mod 29, et à 23 mod 53, qui ne sont pas des résidus quadratiques. Donc b=0 (mod 99905) ; la valeur minimale est effectivement b=99905, car pour k=-6b, a2=447b2+kb=441b2, et a=21b convient : alors p=b(b-223*6)=9847336135, q=b(b-224*6)=9847336708 Q2 - Soit 62n+1=x2 et 63n+1=(x+t)2, donc n=2xt+t2, x2=124xt+62t2+1 ; les solutions entières sont obtenues si d, tel que d2=622t2+62t2+1, est entier, soit d2=62*63t2+1, et x=62t+d, n=t(125t+2d). La première solution de cette
équation de Fermat-Pell est t=2, d=125, soit n=1000. On passe d’une solution (t,d) à la suivante (t’,d’) par d’/t’-62=1/(2+1/(124+1/(d/t-62), soit t’=2d+125t, d’=125d+7812t, n’=t’(125t’+2d’)=(2d+125t)(500d+31249t).
Modulo 1000, les solutions (t,d,n) suivent un cycle (2,125,0)(500,249,0)(-2,125,0) (0,1,0) : n est toujours divisible par 1000, qui est donc le PGCD des solutions.
Bonus: 13=49-36, 770=49*62-36*63 : (7x)2=49*62n+49, (6(x+t))2=36*63n+36 770n+13=(7x)2-(6(x+t))2=(x-6t)(13x+6t) n’est jamais premier.
