E551- Des rondes à la ronde Solution proposée par David Amar
1ère ronde : Dans cette première ronde fermée, on écrit tous les entiers positifs de 1 à n de telle sorte que deux nombres adjacents ont au moins un chiffre en commun. Quelle est la plus petite valeur possible de n ?
Une telle ronde comporte entre autres des nombres à 1 seul chiffre. Or deux nombres à un seul chiffre ne peuvent être accolés car ils n’ont pas de chiffre commun, il y a donc forcément des nombres à 2 chiffres.
Par conséquent, n > 9. Du coup, tous les chiffres de 1 à 9 sont dans la ronde.
On considère le chiffre 9. Ses voisins de droites et de gauche comportent donc un 9. Les plus petites valeurs possibles pour ces 2 voisins sont 19 et 29. Par conséquent, 29 est dans la plus petite ronde possible et n vaut au minimum 29.
On conclura rapidement en montrant par l’exemple que ce minimum théorique est valide : voici une possibilité de ronde à 29 éléments
20-10-11-1-21-22-2-12-13-3-23-24-4-14-15-5-25-26-6-16-17-7-27-28-8-18-19-9-29
2ème ronde : Dans cette deuxième ronde fermée, on écrit les chiffres de 1 à 9 de telle sorte que les nombres constitués par deux chiffres adjacents et lus dans le sens des aiguilles d’une montre ne comportent jamais de facteur premier à deux chiffres.
Trouver un arrangement possible des neuf chiffres.
On peut construire quelques séquences qui seront présentes dans la ronde. Par exemple, le seul nombre à deux chiffres dont les facteurs premiers sont au plus égaux à 7 et qui se termine par un 3 est 63 ; par un 7 c’est 27 ; enfin par un 9 c’est 49.
On peut aussi ajouter que par un 1, c’est 21 ou 81 ; or le 2 est déjà devant le 7.
Notre ronde sera donc composée des blocs suivants : 5, 63, 27, 81, 49
On ne peut pas faire suivre 27 de 63, 49 ou 81; on doit donc le faire suivre de 5 On ne peut pas faire suivre 63 de 49 ou 81; on doit donc le faire suivre de 275 On ne peut pas faire suivre 63275 de 81; on doit donc le faire suivre de 49
La seule solution possible est donc 6,3,2,7,5,4,9,8,1 (on vérifie juste que 16 n’a pas de facteur supérieur à 7).
3ème ronde : Dans cette troisième ronde fermée des entiers positifs de 1 à n, la différence en valeur absolue qui sépare deux entiers adjacents est toujours égale à 2 ou à 3. Existe- t-il une ronde des entiers de 1 à 2011 ? Quels sont les entiers n tels qu’il n’existe pas de ronde fermée de 1 à n (par exemple n=2) ? Pour les plus courageux : mêmes questions quand on impose des écarts égaux à 3 ou à 4.
Il y a en effet des rondes qui vérifient ces conditions et de longueur 2011.
Commençons par remarquer que dans une ronde:
- 1 est forcément compris entre 3 et 4 (-1 et -2 ne sont pas dans la ronde) - 2 est forcément compris entre 4 et 5 (0 et -1 ne sont pas dans la ronde)
La séquence 5,2,4,1,3 (ou bien la même lue dans l'autre sens) est donc présente dans toute ronde.
Par ailleurs on notera que c'est une ronde en soi (5-3=2), et du coup la plus petite ronde possible.
De la même manière, dans une telle ronde:
- N est forcément compris entre N-2 et N-3 (car N+2 et N+3 ne sont pas dans la ronde) - N-1 est forcément compris entre N-3 et N-4 (car N+1 et N+2 ne sont pas dans la ronde) La séquence N-4,N-1,N-3,N,N-2 (ou bien la même lue dans l'autre sens) est donc présente dans toute ronde de taille N.
Si N>5, on peut même aller plus loin:
- les voisins de 3 sont 1, 5 et 6. Or si N>5, 5 n’est pas le voisin de 3, qui est donc entre 1 et 6 - les voisins de N-2 sont N, N-5 et N-4. Or si N>5, N-4 n’est pas voisin de N-2, qui est donc entre N et N-5
On a donc les deux séquences suivantes dans nos ronde: 5,2,4,1,3,6 et N-4,N-1,N-3,N,N-2,N- 5
La question est de savoir comment insérer les nombres de 7 à N-6.
Si N>9; on remarque que
- on peut aller de 5 à N-5 si N pair (N-4 si N impair) via une suite de nombres de la forme 5+2k
- on peut aller de 6 à N-4 si N pair (N-5 si N impair) via une suite de nombres de la forme 6+2k
Tous les nombres de 7 à N-6 sont alors bien écrits, une et une seule fois: on a construit une ronde de taille N.
Exemples :
N=23 => 7,9,11,13,15,17,(19,22,20,23,21,18),16,14,12,10,8,(6,3,1,4,2,5) N=16 => 8,10,(12,15,13,16,14,11),9,7,(5,2,4,1,3)
On peut donc construire une ronde pour N=2011; qui serait constituée ainsi
[8+2k; k=0..998], 2006, 2009, 2011, 2008, 2010, 2007, [2005-2k, k=0..999], 5, 2, 4, 1, 3, 6
Plus généralement, on peut construire toute ronde de taille N tel que N=5 ou N>9.
Démonstration.
Pour N=1,2,3 ou 4, la ronde est trop petite (la plus petite ronde possible est 5)
Pour N=6,7,8 ou 9 ; on sait que la ronde comporte 5,2,4,1,3,6 et N-4,N-1,N-3,N,N-2,N-5.
Comme certaines valeurs sont présentes dans les deux sous-séquences dans des ordres contradictoires, on en déduit l’impossibilité de créer une ronde pour ces tailles.
Pour les autres cas, on peut construire une telle ronde, comme expliqué plus haut.
Avec des écarts de 3 et 4; que se passe-t-il?
On procède aux mêmes raisonnement pour trouver que:
- la séquence 7,3,6,2,5,1,4 (ou bien la même dans l'autre sens) est présente dans toute ronde - la séquence N-3,N,N-4,N-1,N-5,N-2,N-6 (ou bien la même dans l'autre sens) est présente dans toute ronde
- la plus petite séquence est de taille 7: 7,3,6,2,5,1,4
- toute ronde de taille N>7 contient ces 2 séquences "étendues": 7,3,6,2,5,1,4,8 et N-7,N- 3,N,N-4,N-1,N-5,N-2,N-6
On remarque qu'on peut alors construire des séquences grâce à ça, il suffit de trouver deux séries de nombres U et V, dont les premiers termes sont respectivement 7 et 8 ; qui
contiennent tous les nombres de 7 à N-6 une et une seule fois dans une suite ou dans l’autre, qui ne contiennent aucun autre nombre que ceux-là ; où l’une des deux a pour dernier élément N-6 et l’autre N-7 ; et telles que l’écart entre deux nombres consécutifs d’une même série est 3 ou 4.
Plus simplement, on cherche deux suites qui à partir des extrémités de notre séquence 7,...,8 va nous mener aux extrémités de la séquence N-7,...,N-6.
Pris dans l’autre sens, si 2 éléments de U et V sont distants de 1, que ces nombres majorent U et V et enfin que tous les nombres inférieurs à ces termes sont présents dans U ou V, alors on pourra construire une ronde.
On peut trouver entre autres:
· 7,11,15 et 8,12,9,13,10,14: 7 éléments entre les deux séquences
· 7,10,14,11,15 et 8,12,9,13,16: 8 éléments entre les deux séquences
· 7,10,14,17 et 8,11,15,12,9,13,16: 9 éléments entre les deux séquences
· 7,10,14,17,13,9,12,16,19 et8,11,15,18 : 11éléments entre les deux séquences
· 7,10,13,9,12,16,19 et8,11,15,18,14,17,20 : 12 éléments entre les deux séquences
· 7,10,13,9,12,16,19,15,18,21 et8,11,14,17,20 :13 éléments entre les deux
séquences
NB 1: il est impossible de trouver des suites à 1,2,3 ou 4 éléments car 9 est forcément compris entre 12 et 13; le plus grand terme ne peuvent pas être inférieurs à 13.
NB 2: il est impossible de trouver des suites à 5 éléments car 9 est forcément compris entre 12 et 13; or il faut que 12 et 13 soient répartis dans les deux suites U et V.
NB 3: il est impossible de trouver des suites à 6 éléments car 9 est entre 12 et 13; et 12 entre 8 et 9. La suite V est donc forcément 8,12,9,13; la suite U est alors impossible à construire, sachant qu'elle contient 7,10,11 et 14; en commençant par 7 et finissant par 14
NB 4: il est impossible de trouver des suites à 10 éléments: 9 est compris entre 12 et 13, et si on essaye de finir nos suites par 18, alors 16 est aussi compris entre 12 et 13.
Inutile d'aller plus loin, on a déjà de quoi faire avec tout ça. En effet, on peut combiner deux paires de séries pour en obtenir une troisième plus longue
Par exemple on peut faire des suites de 15 éléments en faisant 7+8 : 7,11,15,19,16,20,23 et 8,12,9,13,10,14,17,21,18,22
Remarque supplémentaire: à partir d'une ronde de taille N, on peut générer une ronde de taille N+7.
Démonstration.
Une ronde de taille N comporte le nombre N, entre N-3 et N-4. On insère entre N-3 et N les nombres N+1, N+5, N+2, N+6, N+3, N+7 et N+4. Le résultat est une ronde de taille N+7
On peut donc générer une ronde de taille:
- 7 (preuve par l'exemple plus haut)
- multiple de 7, en partant de 7 et en ajoutant 7 éléments
mais aussi…
- 22, grâce à nos suites à 8 éléments: 7, 3, 6, 2, 5, 1, 4, 8, 12, 9, 13, 16, 20, 17, 21,
18, 22, 19, 15, 11, 14, 10
- 23, grâce à nos suites à 9 éléments: 7, 3, 6, 2, 5, 1, 4, 8, 11, 15, 12, 9, 13, 16, 20,
23, 19, 22, 18, 21, 17, 14, 10
- 25, grâce à nos suites à 11 éléments
- 26, grâce à nos suites à 12 éléments
- 27, grâce à nos suites à 13 éléments
- 29, grâce à des suites à 15 éléments construites avec les suites à 7 et 8
éléments (exemple:
7,3,6,2,5,1,4,8,12,9,13,10,14,17,21,18,22,26,29,25,28,24,27,23,20,16,19,15,11)
- 30, grâce à des suites à 16 éléments construites avec les suites à 7 et 9 éléments
- 31, grâce à des suites à 17 éléments construites avec les suites à 8 et 9 éléments
- toutes les suivantes: il suffit de partir d'une des rondes de taille comprise entre 25
et 31 et d'y ajouter 7 éléments pour obtenir des rondes de 32 à 38 éléments, etc...
Autrement dit, les rondes non réalisables sont de taille 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 18, 19, 20 et 24.
- Pour les tailles inférieures à 7: la ronde est trop petite pour exister
- Pour celles inférieures à 14 les deux séquences obligatoires comportent des
termes communs dans des ordres contradictoires
- Pour les autres on a montré plus haut qu'aucune suite de nombre ne permet de
relier nos deux séquences obligatoires.
