E551. Des rondes à la ronde
1ère ronde
1 aura au mieux un voisin de la forme 1?, de sorte quen >9. Alors 9 aura au mieux pour voisins 19 et 29.
La ronde suivante 29-9-19-18-8-28-27-7-17-16-6-26-25-5-15-14-4-24-23-3-13-12-2- 22-21-1-11-10-20 illustre que 29 est le minimum recherché.
2ème ronde
En procédant par crible (élimination des nombres premiers à 2 chiffres et leurs multiples) ou bien par un raisonnement direct (sur les entiers à 2 chiffes de la forme 2a3b5c7d), les candidats sont parmi 12, 14, 15, 16, 18, 21, 24, 25, 27, 28, 32, 35, 36, 42, 45, 48, 49, 54, 56, 63, 64, 72, 75, 81, 84, 96, 98.
En les triant selon les chiffres des unités, 27, 49 et 63 sont les seuls nombres se terminant respectivement par 7, 9 et 3.
Après élimination de 21 et 72, la ronde contiendra donc 275, 49, 63 et 81.
Raisonnons sur le successeur de 5 :
• 56 entraîne 27563, d’où une impossibilité sur le successeur de 3
• 54 conduit à la solution 275498163 (unique à permutation circulaire près)
3ème ronde
1 aura pour voisins 3 et 4, que nous noterons par 3-1-4. Commen>4, la ronde contiendra aussi 4-2-5. Ainsi 3-1-4-2-5 illustre le casn= 5.
Pourn>6,la ronde contiendra 6-3-1-4-2-5, mais aussi la chaîne complémentaire àn+ 1, à savoir (n−5)−(n−2)−n−(n−3)−(n−1)−(n−4).
A l’aide de cette dernière, nous vérifions que les cas 6 à 9 sont impossibles (par exemple par l’absence de 1-4-2).
En revanche, illustrons les cas 11 à 14 :
• n= 11 : 5-2-4-1-3-6-9-11-8-10-7
• n= 12 : 7-10-12-9-11-8-6-3-1-4-2-5
• n= 13 : 8-11-13-10-12-9-7-5-2-4-1-3-6
• n= 14 : 9-12-14-11-13-10-8-6-3-1-4-2-5-7
La chaîne (n−2)−(n+ 1)−(n+ 4)−(n+ 2)−(n+ 5)−(n+ 3)−nillustre le passage du casnà n+ 5.
Ainsi il existe une ronde fermée pour 5 et tout entier à partir de 10.
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Bonus
1 aura pour voisins 4 et 5, que nous noterons par 4-1-5. Commen>5, la ronde contiendra aussi 5-2-6-3-7. Ainsi 4-1-5-2-6-3-7 illustre le casn= 7.
Pour n >8, la ronde contiendra 8-4-1-5-2-6-3-7, mais aussi la chaîne complé- mentaire àn+ 1, à savoir (n−7)−(n−3)−n−(n−4)−(n−1)−(n−5)− (n−2)−(n−6).
A l’aide de cette dernière, nous vérifions que les cas 8 à 13 sont impossibles (par exemple par l’absence de 1-5-2 ou 2-6-3).
5 et 6 étant déjà casés (1-5-2-6-3), ils ne peuvent être voisins de 9, d’où la présence de 12-9-13, incompatible avec les cas 15 à 19.
Cas 20 : 7-3-6-2-5-1-4-8-12-9-13-17-20-16-19-15-18-14 et il est impossible d’avoir à la fois 7-10-14 et 7-11-14
Cas 22 : 15-19-22-18-21-17-20-16-13-9-12-8-4-1-5-2-6-3-7-10-14-11 Cas 23 : 16-20-23-19-22-18-21-17-14-10-7-3-6-2-5-1-4-8-11-15-12-9-13
Cas 24 : 17-21-24-20-23-19-22-18 et il est impossible d’avoir à la fois 12-16-13 et 12-9-13.
Cas 25 : 18-22-25-21-24-20-23-19-16-12-9-13-17-14-10-7-3-6-2-5-1-4-8-11-15 Cas 26 : 19-23-26-22-25-21-24-20-17-14-18-15-11-8-4-1-5-2-6-3-7-10-13-9-12-16 Cas 27 : 20-24-27-23-26-22-25-21-18-14-10-7-3-6-2-5-1-4-8-11-15-19-16-12-9-13- 17
Cas 31 : 24-28-31-27-30-26-29-25-22-18-21-17-14-10-7-3-6-2-5-1-4-8-11-15-12-9- 13-16-19-23-20
La chaîne (n−3)−(n+ 1)−(n+ 5)−(n+ 2)−(n+ 6)−(n+ 3)−(n+ 7)− (n+ 4)−nillustre le passage du cas nàn+ 7.
Ainsi il existe une ronde fermée pour 7, 14 et tout entier à partir de 21 sauf 24.
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