E551 – Des rondes à la ronde
1ère ronde : Dans cette première ronde fermée, on écrit tous les entiers positifs de 1 à n de telle sorte que deux nombres adjacents ont au moins un chiffre en commun.
Quelle est la plus petite valeur possible de n ?
2ème ronde : Dans cette deuxième ronde fermée, on écrit les chiffres de 1 à 9 de telle sorte que les nombres constitués par deux chiffres adjacents et lus dans le sens des aiguilles d’une montre ne
comportent jamais de facteur premier à deux chiffres. Trouver un arrangement possible des neuf chiffres.
3ème ronde : Dans cette troisième ronde fermée des entiers positifs de 1 à n, la différence en valeur absolue qui sépare deux entiers adjacents est toujours égale à 2 ou à 3.
Existe-t-il une ronde des entiers de 1 à 2011 ?
Quels sont les entiers n tels qu’il n’existe pas de ronde fermée de 1 à n (par exemple n = 2) ? Pour les plus courageux : mêmes questions quand on impose des écarts égaux à 3 ou à 4.
Solution proposée par Michel Lafond 1ère ronde :
1 est présent dans la ronde et a pour voisins minimaux 10 et 11. Donc 9 est présent et a pour voisins minimaux 19 et 29. n est au moins égal à 29 qui convient avec la ronde ci-dessous :
1-13-3-23-25-5-15-17-7-27-22-12-11-21-20-10-18-8-28-26-6-16-14-4-24-2-29-9-19 qui boucle avec 1.
2ème ronde :
En dressant l’arbre des possibilités, on trouve la solution unique : 4 – 9 – 8 – 1 – 6 – 3 – 2 – 7 – 5 qui boucle avec 4.
On a bien :
49 = 72 ; 98 = 2 72 ; 81 = 34 ; 16 = 24 ; 63 = 32 7 ; 32 = 25 ; 27 = 33 ; 75 = 3 52 ; 54 = 2 33 ; Les seuls facteurs premiers rencontrés sont : 2, 3, 5 et 7.
3ème ronde :
Avec les écarts admis 2 ou 3, il existe une ronde fermée de 1 à 2011 et plus généralement une ronde fermée de 1 à n si et seulement si n = 5 ou n 10.
Remarquons d’abord que :
- les voisins de 1 sont nécessairement 3, 4 ; les voisins de 2 sont nécessairement 4, 5.
- les voisins de 3 sont nécessairement 1, 5 ou 6 ; les voisins de 4 sont nécessairement 1, 2, 6 ou 7 etc.
Pour n = 1, 2, 3, 4 la ronde est impossible, 5 étant voisin obligatoire de 2.
Pour n = 5 on a la ronde 1 – 4 – 2 – 5 – 3 qui boucle avec 1.
A partir de 6, on remarque que la succession 3 – 1 – 4 – 2 – 5 est impérative. Donc : - pour n = 6 après 3 – 1 – 4 – 2 – 5, 5 n’a plus de voisin.
- pour n = 7 après 3 – 1 – 4 – 2 – 5 – 7, 7 n’a plus de voisin.
- pour n = 8 3 – 1 – 4 – 2 – 5 – 7 est une impasse et 3 – 1 – 4 – 2 – 5 – 8 – 6 aussi.
- pour n = 9 3 – 1 – 4 – 2 – 5 – 7 – 9 – 6 – 8 ne marche pas car |8 – 3| = 5 et 3 – 1 – 4 – 2 – 5 – 8 – 6 – 9 – 7 ne marche pas car |7 – 3| = 4.
A partir de n = 10 tout devient possible :
Si n est pair, n = 2 k et on voit mieux sur le graphe ci-dessous (valable à partir de k = 5 donc de n = 10) une solution possible (Les segments relient deux voisins) :
2 4 6 8 2k – 6 2k – 4 2k – 2 2k = n
1 3 5 7 2k – 7 2k – 5 2k – 3 2k – 1
Si n est impair, n = 2 k + 1, et on voit mieux sur le graphe ci-dessous (valable à partir de k = 5 donc de n
= 11) une solution possible :
Avec les écarts admis 3 ou 4, c’est beaucoup plus compliqué.
Il n’existe pas de ronde pour n 6.
Il existe une ronde pour n = 7 : 1 – 5 – 2 – 6 – 3 – 7 – 4 qui boucle avec 1.
Il n’existe pas de ronde pour 8 n 13.
Il existe une ronde pour n = 14 :
1 – 5 – 2 – 6 – 3 – 7 – 11 – 14 – 10 – 13 – 9 – 12 – 8 – 4 qui boucle avec 1.
Il n’existe pas de ronde pour 15 n 20.
A partir de n = 21, toutes les rondes sont possibles, sauf pour n = 24 : En effet, procédons par étapes selon n modulo 6.
Dans la ronde ci-dessous (et dans les suivantes) chaque segment horizontal relie deux voisins avec un écart de 3 et chaque arc ou segment oblique (NO-SE) relie deux voisins avec un écart de 4.
La figure ci-dessous montre la possibilité d’une ronde pour n = 28, et en fait pour tous les n = 22 + 6 k (k entier) puisque le bloc des 6 segments en pointillé peut être omis, ou au contraire dupliqué, autant de fois que l’on veut.
La figure ci-dessous montre la possibilité d’une ronde pour n = 29, et en fait pour tous les n = 23 + 6 k (k entier) en jouant comme précédemment sur le nombre de blocs de 6 segments en pointillé.
Il n’y a pas de ronde avec n = 24, mais pour les rondes avec n = 30 + 6 k, on utilise comme précédemment le graphe ci-dessous :
2 4 6 8 2k – 6 2k – 4 2k – 2 2k
1 3 5 7 2k – 7 2k – 5 2k – 3 2k – 1 2k + 1 = n
15 18 24
2
6 9 3
5
1 4 7
8
10 11
12
13
14 16
17
19 20
21
22 23
25
26 27
28
2
6 9 3
5
1 4 7
8
10 11
12
13 14
16 17
19 20
21
22 23
25
26 27
28 29
15 18 24
Pour les rondes avec n = 25 + 6 k, on utilise le graphe ci-dessous :
Pour les rondes avec n = 26 + 6 k, on utilise le graphe ci-dessous :
Il reste les rondes avec n = 21 + 6 k, pour lesquelles on distingue - la ronde avec n = 21 :
[1 – 5 – 2 – 6 – 3 – 7 – 11 – 15 – 19 – 16 – 20 – 17 – 21 – 18 – 14 – 10 – 13 – 9 – 12 – 8 – 4 – 1]
- la ronde avec n = 27 :
[1 – 5 – 2 – 6 – 3 – 7 – 10 – 13 – 9 – 12 – 16 – 19 - 15 – 18 – 21 – 25 - 22 – 26 – 23 – 27 – 24 – 20 – 17 – 14 – 11 – 8 – 4 – 1]
- les rondes avec n = 33 + 6 k, pour lesquelles on utilise le graphe ci-dessous :
Avec les écarts admis a ou b, supérieurs à 1 et premiers entre eux, la recherche des rondes possibles doit être très difficile dans le cas général.
2
6 9 3
5
1 4 7
8
10 11
12
22 23
25
26 27
28 29 13
14 16 17
19 20
18 21
15 24 30
31 34
32
33
35 36
2
6 9 3
5
1 4 7
8
10
12
13
17
22 25 26
27
28 29
15 18 24 30
31
11 23
16 14
19 20
32 21
23
34 37
15 24
2
6 9 3
5
1 4 7
8
10
12
22 25
26 27
28 29
30
31
11 32
13 14
16
17 18
19
21 20
33 35
36
38
39 2
6 9 3
5
1 4 7
8
10
12
13 25
26 27
28 29
15 18 30
31 11
16 17
19
20 21
22
24 23 14
