Des rondes à la ronde
Problème E551 de Diophante
1ère ronde : Dans cette première ronde fermée, on écrit tous les entiers positifs de 1 à n de telle sorte que deux nombres adjacents ont au moins un chiffre en
commun. Quelle est la plus petite valeur possible de n ?
2ème ronde : Dans cette deuxième ronde fermée, on écrit les chiffres de 1 à 9 de telle sorte que les nombres constitués par deux chiffres adjacents et lus dans le sens des aiguilles d’une montre ne comportent jamais de facteur premier à deux chiffres. Trouver un arrangement possible des neuf chiffres.
3ème ronde : Dans cette troisième ronde fermée des entiers positifs de 1 à n, la différence en valeur absolue qui sépare deux entiers adjacents est toujours égale à 2 ou à 3. Existe-t-il une ronde des entiers de 1 à 2011 ? Quels sont les entiers n tels qu’il n’existe pas de ronde fermée de 1 à n (par exemple n = 2) ?
Pour les plus courageux : mêmes questions quand on impose des écarts égaux à 3 ou à 4.
Solution
1ère ronde : Considérons la ronde ci-dessous (développée en partant de un) : 1 11 21 12 20 2 22 23 3 13 14 4 24 25 5 15 16 6 26 27 7 17 18 8 28 29 9 19 10 1 Elle comprend 29 termes et satisfait la condition : deux nombres adjacents ont au moins un chiffre en commun.
Ce nombre 29 est la plus petite longueur possible d'une telle suite. En effet, le nombre 9 possède nécessairement pour voisins deux nombres comprenant un chiffre 9 dans leur écriture et les deux nombres 19 et 29 sont les plus petits possibles parmi toutes les paires convenables de deux entiers distincts.
2ème ronde : Les seuls nombres qui ne comportent aucun facteur premier à deux chiffres sont, en ordre croissant : 12, 14, 15, 16, 18, 21, 24, 25, 27, 28, 32, 35, 36, 42, 48, 49, 54, 56, 63, 64, 72, 75, 81, 84, 96, 98 ou, selon le dernier chiffre : 21, 81, 32, 42, 72, 63, 14, 24, 54, 64, 84, 15, 25, 35, 45, 75, 16, 36, 56, 96, 27, 18, 28, 48, 98, 49.
Dans cette deuxième liste, il apparaît que les nombres 63, 27 et 49 sont isolés.
Ils apparaissent nécessairement dans la ronde cherchée. Ainsi 21 ne peut apparaître et 81 se trouve alors isolé et doit apparaître. De proche en proche les deux séquences 4981 et 63275 s'imposent et, par chance peuvent se raccorder selon 16 et 54.
D'où la ronde cherchée : 1632754981
3ème ronde : Considérons le brin … 9 7 5 2 4 1 3 6 8 10 … qui peut se prolonger, à droite par des nombres pairs consécutifs et à gauche par des nombres impairs consécutifs. Pour obtenir une ronde convenable, il suffit de le fermer par la séquence n-1 n-3 n n-2 ou son opposée, selon la parité de n.
Pour n = 2011, développons à partir de 1. Il vient :
1 3 6 8 10 … 2004 2006 2009 2011 2008 2010 2007 2005 … 9 7 5 2 4
Evidemment, pour n = 2, 3 ou 4 il n'y a pas de ronde convenable.
Pour n = 5, on obtient la ronde 1 3 5 2 4.
Par contre, il n'y a pas de ronde convenable pour n = 6, 7, 8, ou 9 Pour n = 10 on obtient la ronde 1 3 6 9 7 10 8 5 2 4
Pour n = 11 on obtient la ronde 1 3 6 9 11 8 10 7 5 2 4 Ainsi de suite, pour toutes les valeurs k de n.
Avec un peu de courage, on découvre pour n = 7 la ronde : 1 5 2 6 3 7 4 1 dans laquelle les écarts valent 3 ou 4.
Partant de là, on peut amorcer un double virage sur quatre fibres parallèles qui comprennent des nombres de quatre en quatre.
4 - 1 - 5 - 2 - 6 - 3 8 9 7 11 12 13 10
2001 2000 1999 2002 2004 2003 2005 2008 2009 2011 - 2007 - 2010 - 2006
Les nombres du bas sont obtenus par rapport à ceux du haut par compléments à 2012.
