E551. Des rondes à la ronde
1ère ronde : Dans cette première ronde fermée, on écrit tous les entiers positifs de 1 à n de telle sorte que deux nombres adjacents ont au moins un chiffre en commun. Quelle est la plus petite valeur possible de n ?
2ème ronde : Dans cette deuxième ronde fermée, on écrit les chiffres de 1 à 9 de telle sorte que les nombres constitués par deux chiffres adjacents et lus dans le sens des aiguilles d’une montre ne comportent jamais de facteur premier à deux chiffres. Trouver un arrangement possible des neuf chiffres.
3ème ronde : Dans cette troisième ronde fermée des entiers positifs de 1 à n, la différence en valeur absolue qui sépare deux entiers adjacents est toujours égale à 2 ou à 3. Existe-t-il une ronde des entiers de 1 à 2011 ? Quels sont les entiers n tels qu’il n’existe pas de ronde fermée de 1 à n (par exemple n=2) ? Pour les plus courageux : mêmes questions quand on impose des écarts égaux à 3 ou à 4.
Solution proposée par Claudio Baiocchi
1ère ronde. Le cas trivial de =1 mis à part, on doit utiliser le nombre 2, dont les «voisins les plus petits» sont 12 et 22; en particulier on a . Ceci entraine qu’on doit utiliser le nombre 9, dont les «voisins les plus petits» sont 19 et 29; en particulier on a . Et en effet est possible, par exemple avec:
29 22 28 8 18 11 17 7 27 2 20 26 6 16 15 5 25 24 4 14 23 3 13 10 12 21 1 19 9
2ème ronde. Un arrangement possible est 163275498
3ème ronde, cas simple. Si et sont deux nombres tels que vaut 2 ou 3, on dira que est un parent de et que est un fils de . On remarquera que les nombres 1 et 2 sont des orphelins, ce qui force le nombre 1 à être entre 3 et 4, ainsi que le nombre 2 à être entre 4 et 5.
Toute ronde doit donc contenir la chaine (à lire dans un sens ou dans l’autre) . Naturellement on peut renfermer cette chaine: on imagine le dernier nombre 5 placé à la gauche du 3 initial, en obtenant une ronde d’ordre 5, qui est évidemment la ronde la plus petite possible.
Dans la suite on va «compliquer» un peu le traitement, de façon à construire une démarche qui nous servira de guide dans le cas compliqué. On va travaillera avec suites de nombres telles que la valeur absolue des différences entre un élément et le suivant vaut 2 ou 3; une ronde d’ordre est une suite fermée composée par tous les nombres de 1 à ; on la notera
. Un’autre notation qu’on va utiliser est la suivante: on appellera chaine d’ordre et on notera une suite contenant tous et seuls les nombres de 1 à et ayant aux bouts les nombres et ; donc, suivant l’orientation choisie, on a ou bien
ou bien ; naturellement, dans les deux cas, la partie contient tous les nombres de 1 à .
On partagera en deux la famille des chaines, suivant la valeur de l’élément à côté de
(dans les deux cas la chaine est donc ou bien ); on
dira que la chaine est intéressante si vaut ; sinon on dira que la chaine n’est pas intéressante. Il y a deux motivations pour cette définition; d’un côté on a évidemment:
Si est intéressante, après suppression de l’élément on peut recoller les deux bouts en obtenant une ronde et d’autre coté la propriété admet une «inverse»:
Toute ronde peut être coupé de façon que l’élément peut être ajouté en obtenant une chaine intéressante
En fait dans l’élément m doit paraitre entre et ; si on coupe la ronde en séparant de , on peut rattacher au bout ; et la chaine qui en résulte est évidemment intéressante.
En particulier la recherche de toutes les rondes peut être ramenée à la recherche de toutes les chaines intéressantes; ce qui peut se faire à l’aide de la proposition suivante:
Toute chaine peut être plongée:
1. dans une chaine non-intéressante il suffit de rajouter l’élément , à rattacher évidemment au bout ;
2. dans une chaine intéressante : il suffit de rattacher au bout les
valeurs ; et au bout les valeurs .
Partant donc de la chaine la plus petite associée à la ronde , pour tout on peut construire une chaine non intéressante ; de laquelle on peut passer à la chaine
intéressante . En termes de rondes, après un intervalle initial presque vide (jusqu’à seul la ronde existe) on a existence des rondes pour tout ; l’unicité étant assurée seulement pour .
3ème ronde, cas difficile. On va encore faire usage des définitions précédentes, avec les variantes évidentes; par exemple la différence entre parents et fils peut maintenant prendre les valeurs 3 ou 4; et une chaine est intéressante si l’élément à coté de vaut . Les propriétés et restent valables la seule différence étant que, pour ce qui concerne
, la ronde doit être coupée en séparant de (de façon à pouvoir rattacher au bout ).
Le prolongement des chaines est maintenant plus compliqué. Au lieu de on a que toute chaine peut être plongée:
1. Dans une chaine intéressante ; il suffit de rattacher:
a. les éléments au bout ;
b. les éléments au bout .
2. Dans une chaine non-intéressante ; il suffit de rattacher:
a. les éléments au bout ;
b. les éléments au bout .
3. Dans une chaine non-intéressante ; il suffit de rattacher:
a. les éléments au bout ;
b. Les éléments au bout . En particulier toute chaine peut être plongée dans trois chaines intéressantes, à savoir
et ; toutefois, pour rechercher les ordres tels que une ronde existe, il vaut mieux remarquer qu’il faut pouvoir représenter sous la forme et que ici aussi, après un intervalle initial avec trous, la propriété vaut à partir de . En fait on doit montrer que tout peut être représenté sous la forme
avec
La représentation est facile (et, en général, non unique): on a où (quotient de la division entière de par 7) satisfait ; quant au reste , on a donc
pour et positifs convenables avec . On a donc
et la propriété voulue est remplie avec .
