La ronde des neufs points
Problème D151 de Diophante
Le cercle des neuf points dans le triangle dit cercle d’Euler est très connu.
Voici un autre exemple d’une construction géométrique très simple de neuf points cocycliques à l’intérieur d’un rectangle.
Dans un repère orthonormé, on trace sur l’axe des abscisses Ox, les points P,Q,R,S,T d’abscisses entières 9, 12, 14, 24 et 42. Sur la droite (L) parallèle à l’axe Ox qui coupe l’axe Oy en un point A d’ordonnée 6, on trace les points B, C, D, E, F d’abscisses entières 8, 10, 15, 18, 30. Les droites OB, OC, OD, OE et OF coupent respectivement les droites AT, AS, AR, AQ et AP en cinq points I, J, K, L, M.
Montrer que ces cinq points sont sur un même cercle qui coupe l’axe Ox et la droite (L) aux sommets d’un carré. Déterminer le centre et le rayon de ce cercle.
Nota : la trigonométrie et la géométrie analytique sont fortement déconseillées.
Pour les plus courageux qui considèrent que l’obtention de neuf points
cocycliques est très banale, trouver un schéma similaire au précédent avec 25 points cocycliques à l’intérieur d’un rectangle dont les dimensions n’excèdent pas 1000.
Solution
Un schéma (même à main levée) laisse penser que le cercle évoqué est celui de centre (3,3) passant par O (de rayon 3√2), noté Ω par la suite.
O
A B C D E F
P Q R S T
Autrement dit, il s’agit de montrer que les points I, J, K, L, M voient le segment OA sous un angle de 45°.
Effectivement, soit U un point de Ω et m la pente de la droite OU, alors la droite AU a pour pente (m-1)/(m+1). Pour les valeurs 3/4; 3/5 ; 2/5 ; 1/3 et 1/5 relatives aux pentes OB, OC, OD, OE, OF on trouve les pentes –1/7 ; - 1/4 ; -3/7 ; - 1/2 et –2/3 de AT, AS, AR, AQ, AP.
Sans trop de témérité
Pour obtenir plus de points, il faut faire la même chose avec une base OA plus large (dont la mesure comprend plus de diviseurs). En prenant A d’ordonnée 60, on obtient 21 paires d’entiers {a,z} tels que a/60 et z/60 jouent les rôles de m et n, avec ici les contraintes a < z < 1000.
En voici la liste
68 69 70 72 75 76 78 80 84 85 90 92 96 100 105 108 110 120 132 135 140 960 860 780 660 540 510 460 420 360 348 300 285 260 240 220 210 204 180 160 156 150
Remarquons qu’il est possible de permuter les valeurs dans une même
colonne ; ce qui supprime la contrainte a < z, qui n’est pas imposée par l’énoncé. Par exemple, en effectuant une telle permutation pour une colonne sur deux, on obtient une meilleure répartition des points sur le cercle.
Remarque : J’ai obtenu la valeur 60 par essais et erreurs, à l’aide d’un tableur.
