D151 : La ronde des neufs points
Considérons un point N tel que AN coupe Ox en un point d’abscisse p et ON coupe (L) en un point d’abscisse q. Puisque l’angle ONA est le complément à ! de la somme OAN +AON, et que tan(OAN)=p/6 et tan(AON)=q/6, tan(ONA)=6(p+q)/(pq-36).
On constate que lorsque N coïncide successivement avec I, J, K, L ou M, le rapport ci- dessus reste égal à 1, ce qui veut dire que ces points voient le segment OA sous un même angle égal à !/4, ce qui est également le cas des points G et H appartenant respectivement à Ox et (L) et d’abscisse 6.
Les points O, A, G, H, I, J, K, L, M sont donc 9 points cocycliques ; on pourrait même y ajouter I’, J’, K’, L’, M’, symétriques de I, J, K, L, M, par rapport à la droite d’ordonnée égale à 3…
Ces différents points ont été construits à partir des solutions entières de l’équation 6(p+q)=pq-36
Considérons plus généralement l’équation m(p+q)=pq-m2(où m est un entier). Les solutions sont obtenues pour les valeurs entières de q telles que p=m(q-m)/(q+m) soit entier.
Ainsi, pour m=60, on peut obtenir 21 points correspondant aux valeurs de p et q ci- dessous, soit 25 points en y ajoutant O et les trois autres sommets du carré de coté 60.
68 960
69 860
70 780
72 660
75 540
76 510
78 460
80 420
84 360
85 348
90 300
92 285
96 260
100 240
105 220
108 210
110 204
120 180
132 160
135 156
140 150
