D151 - La ronde des neuf points
Le cercle des neuf points dans le triangle dit cercle d’Euler est très connu. Voici un autre exemple d’une construction géométrique très simple de neuf points cocycliques à l’intérieur d’un rectangle.
Dans un repère orthonormé, on trace sur l’axe des abscisses (Ox), les points P, Q, R, S, T d’abscisses entières 9, 12, 14, 24 et 42. Sur la droite (L) parallèle à l’axe (Ox) qui coupe l’axe (Oy) en un point A d’ordonnée 6, on trace les points B, C, D, E, F d’abscisses entières 8, 10, 15, 18, 30. Les droites (OB), (OC), (OD), (OE) et (OF) coupent respectivement les droites (AT), (AS), (AR), (AQ) et (AP) en cinq points I, J, K, L, M.
Montrer que ces cinq points sont sur un même cercle qui coupe l’axe (Ox) et la droite (L) aux sommets d’un carré. Déterminer le centre et le rayon de ce cercle.
Nota : la trigonométrie et la géométrie analytique sont fortement déconseillées.
Pour les plus courageux qui considèrent que l’obtention de neuf points cocycliques est très banale, trouver un schéma similaire au précédent avec 25 points cocycliques à l’intérieur d’un rectangle dont les dimensions n’excèdent pas 1000.
Solution : 9 points cocycliques
Les sommets O, A, A’(6,6), A’’(6,0) forment un carré inscrit dans le cercle (C) de centre X(3,3) et de rayon 3 2. Montrons que I, J, K, L, M sont également sur ce cercle.
Considérons les points U(u,6), V(v,0) et Z intersection de (OU) et (AV). Z est sur (C) à la condition suffisante que Z voie l’arc [OA] sous l’angle
4
π (moitié de l’angle au centre en X, valant 2
π ), ce qui donne :
2 2
2 2 2
2
1
2 4
tan tan( ) tan 1
4
tan tan
1
1 tan tan
6 6 6 6 1
1 .
6 6 6
6 6 6
( 6)( 6) 6 6 6 6 6
( 6)( 6) 2.6 72 AZO AXO
AZO VOU VAU
VOU VAU
VOU VAU u v
u v v u uv uv u v
u v uv u v
u v
π π
= =
= + = =
+
=
− +
=
−
+ = −
− − =
− − = − − + = +
− − = =
On constate qu’à l’instar de (U,V), les couples de points (B,T) (C,S) (D,R) (E,Q) et (F,P) vérifient cette égalité.
u v u-6 v-6 (u-6)(v-6)
(B,T) 8 42 2 36 72
(C,S) 10 24 4 18 72
(D,R) 15 14 9 8 72
(E,Q) 18 12 12 6 72
(F,P) 30 9 24 3 72
Donc I, J, K, L, M sont sur (C), ce qu’il fallait démontrer.
Solution : 25 points cocycliques
Posons cette fois A(0,a). Considérons les points U(u,a), V(v,0) et Z intersection de (OU) et (AV).
De même que précédemment, Z est sur (C) à la condition suffisante que (u−a v)( −a)=2a2
Pour nous aider à choisir une valeur de a, décomposons a en facteurs premiers, il vient
2 2
(2 1) 2 2
= 2 .3 .5 . . 2 = 2 .3 .5 . .
3 i
1 2
3 i
1 2
a a
a a
i
a a
a a
i
a p
a + p
2a2 admet donc n diviseurs, avec
2 3
(2 1 2)(2 1)(2 1) (2 i 1) n= a + a + a + a +
2a2 peut donc s’écrire de n façons différentes sous forme d’un produit de 2 facteurs.
En excluant les 4 sommets du carré, il nous faut trouver 21 points cocycliques. En évitant, en outre, les symétries issues de la commutativité, on doit choisir a tel que :
42 n ≥
On explore alors les petites valeurs des ai, à la recherche d’une valeur de a pouvant convenir.
a1 a2 a3 a n
1 1 0 6 12
2 1 0 12 18
3 1 0 24 24
4 1 0 48 30
5 1 0 96 36
1 2 0 18 20
2 2 0 36 30
3 2 0 72 40
1 1 1 30 36
2 1 1 60 54
Prenons donc a=60, et cherchons à résoudre l’équation
2 5 2 2
( -60)( -60) = 2.60 = 2 .3 .5u v
Parmi les 54=6 3 3× × solutions (que l’on obtient en faisant varier les exposants), on en trouve 42 qui vérifient le critère u≤1000 et v≤1000 , ce qui est suffisant pour conclure.
Les couples (u, v) solutions sont, à la commutativité près : (68, 960) (69, 860) (70, 780) (72, 660) (75, 540) (76, 510) (78, 460) (80, 420) (84, 360) (85, 348) (90, 300) (92, 285) (96, 260) (100, 240) (105, 220) (108, 210) (110, 204) (120, 180) (132, 160) (135, 156) et (140, 150)
L’énoncé de la construction exhibant 25 points cocycliques commencerait alors comme suit :
Dans un repère orthonormé, on trace sur l’axe des abscisses (Ox), les points d’abscisses entières 68, 70, 75, 78, 84, 90, 96, 105, 110, 132, 140, 156, 180, 210, 240, 285, 348, 420, 510, 660, 860. Sur la droite (L) parallèle à l’axe (Ox) qui coupe l’axe (Oy) en un point A d’ordonnée 60, on trace les points d’abscisses entières 69, 72, 76, 80, 85, 92, 100, 108, 120, 135, 150, 160, 204, 220, 260, 300, 360, 460, 540, 780, 960.
