D10223. De quatre ` a neuf points
Quatre points sont donn´es dans le plan. En les prenant 3 par 3, on forme 4 triangles dont on construit les cercles des neuf points (cercles d’Euler).
Montrer que ces 4 cercles ont un point commun.
Solution
La preuve de R. Lassiaille
Les cercles des neuf points relatifs aux quatre triangles construits sur quatre points Ai d’un plan ´etant les cercles circonscrits aux triangles ayant pour sommets les milieux des six segments joignant ces points Ai deux `a deux, la figure ainsi form´ee se pr´esente sous forme de trois pa- rall´elogrammes. On d´emontre ais´ement, en utilisant les propri´et´es des angles inscrits dans un cercle, et les parall´elismes de la figure, que le point K intersection de deux cercles, appartient aux deux autres. (privil´egier la notation des angles alg´ebriques de droites, `a π pr`es, ce qui fait que les
“arcs capables” sont des cercles complets).
La preuve de J.-P. Bourdier
Pour montrer que 3 quelconques des cercles d’Euler ont un point commun, prenons le sommet commun aux trois triangles pour pˆole d’une homoth´etie de rapport 2. Les homoth´etiques des cercles d’Euler sont les sym´etriques des cercles circonscrits aux triangles, par rapport aux cˆot´es ne touchant pas ce pˆole. Les propri´et´es des arcs capables entraˆınent que le point d’in- tersection de deux cercles qui n’est pas un des points donn´es appartient aussi au troisi`eme cercle.
La preuve par le th´eor`eme de Brianchon et Poncelet (*)
Les hyperboles ´equilat`eres circonscrites `a un triangle ont leur centre sur le cercle d’Euler .
Il en r´esulte que le centre de l’hyperbole ´equilat`ere qui passe par les quatre points donn´es appartient aux cercles d’Euler des quatre triangles consid´er´es dans l’´enonc´e.
Cette hyperbole est unique sauf si les 4 points sont les sommets et l’ortho- centre d’un mˆeme triangle. Dans ce dernier cas, les 4 triangles ont mˆeme cercle d’Euler, circonscrit au “triangle p´edal” dont les sommets sont les pieds des hauteurs (qui sont communs aux 4 triangles). Toute conique passant par les 4 points est alors une hyperbole ´equilat`ere.
(*) Voici une preuve simple de ce th´eor`eme.
Rapport´ee aux asymptotes, l’hyperbole ´equilat`ere a pour ´equation xy = constante, d’o`u dy/dx = −y/x : le rayon vecteur et la tangente ont des bissectrices parall`eles aux asymptotes. Cela vaut plus largement pour toute paire de directions conjugu´ees, comme une corde et la droite joignant son milieu au centreO de l’hyperbole.
Soit alors un triangle ABC inscrit dans l’hyperbole, et a, b, c les milieux des cˆot´es BC, CA, AB. On a (Oa, Ob) = (CA, CB) par la propri´et´e pr´ec´edente = (ca, cb) carCacbest un parall´elogramme. AinsiO, a, b, csont sur un mˆeme cercle, circonscrit au triangleabc, qui est le cercle d’Euler du triangleABC.
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