Quatre théorèmes pour quatre triangles
Problème D182 de Diophante
Quatre droites déterminent six points et quatre triangles. Démontrer que les quatre cercles circonscrits à ces triangles ont un point commun P (1er théorème), que leurs centres sont situés sur un même cercle qui contient P (2ème théorème) et que les projections de P sur les quatre droites sont alignées (3ème théorème). Si P est aligné avec deux des six points, alors les quatre autres points sont sur un même cercle (4ème théorème).
Solution
Considérons quatre droites, que nous désignons par leurs couleurs (bleu, marron, rouge, vert), qui se coupent aux points A, B, C, D, E, F.
r
A
v
B
b
C
m
D
E
F P
Désignons aussi, par leurs couleurs, les cercles circonscrits aux triangles ABC (bleu), BDE (marron), CDF (rouge) et AEF (vert) et notons b, m, r, v leurs centres respectifs.
Les angles dont il est question par la suite sont considérés comme des angles orientés de droites (modulo π).
Premier théorème
Soit P le point d’intersection des cercles bleu et vert. Sur le cercle bleu, les angles PAB et PCB interceptent le même arc PB ; ils sont égaux. Sur le cercle vert, les angles PAE et PFE interceptent le même arc PE ; ils sont égaux. Ainsi les angles PCD et PFD sont égaux ; donc les quatre points PCFD appartiennent à un même cercle (le rouge). Le point P appartient au cercle rouge.
De manière analogue, on démontre que le point P appartient aussi au cercle marron et l’on conclut que les quatre cercles circonscrits aux triangles ABC, BDE, CDF et AEF ont un point commun P.
Au passage, remarquons l’existence de quatre trios d’angles caractéristiques :
∆B = AEP = AFP = CDP ; ∆M = PAB = PCB = PFD ; ∆R = PAF = PBD = PED ;
∆V = ABP = ACP = FDP ; et de six paires de triangles deux à deux semblables : {PAB, PFD},.{PAC, PED}, {PAE, PCD}, {PAF, PBD},{PBC, PEF}, {PBE, PCF}, Deuxième théorème
La droite bv est perpendiculaire au segment PA donc les angles Pvb et PEA sont égaux. De même les angles Prb et PDC sont égaux. Les angles PEA et PDC étant égaux, il s’ensuit que les angles Pvb et Prb sont égaux et que les quatre points P, b, r, et v appartiennent à un même cercle (noir), auquel pour des raisons analogues appartient aussi le point m.
Troisième théorème
Soit une inversion I de centre P de puissance quelconque (fixée) ; notons X’
l’image I(X). Alors, les cercles colorés se transforment en quatre droites comprenant respectivement les points A’, B’, C’ ; B’, D’, E’ ; C’, D’, F’ ; A’, E’ F’ et les droites colorées en quatre cercles circonscrits aux triangles A’, B’, E’ ; A’, C’, F’ ; B’, C’, D’ ; D’, E’, F’.
Ainsi la figure inverse est analogue à la figure initiale. On peut même constater que l’ensemble des quatre droites de l’image est semblable à celui de départ.
D’après le deuxième théorème, les centres des quatre cercles de l’image sont sur un même cercle passant par P. Dans l’inversion les images de ces quatre points sont donc alignées. Il en est de même de leurs images dans l’homothétie de centre P de rapport 1/2, qui sont les projections de P sur les quatre droites initiales.
Sur la figure, ces quatre points sont représentés en orange.
Quatrième théorème
Les quatre points BCFE sont sur un même cercle si et seulement si les angles BCF et BEF sont égaux. Or sur le cercle bleu les angles BPA et BCA (BCF) sont égaux et sur le cercle marron les angles BPD et BED sont égaux.
Autrement dit, les quatre points BCFE sont sur un même cercle si et seulement si l’angle APD est nul ; c’est-à-dire que les trois points A, D et P sont alignés.
