Matière : Algèbre Enseignant : F. Durand
Section : I1 Durée : 1 heure 30
Année scolaire : 2014/2015 Date : 17 juin 2015 Nombre de pages : 2 Documents non autorisés Calculatrice non autorisée
Le barême est volontairement sur 25 et la note sera laissée sur 25. On prendra soin de bien justifier. Bon courage !
Exercice 1 (*) (3 points)
Effectuer la division selon les puissances croissantes de
A
parB
à l’ordrek
(c’est-à-dire tel que le reste soit divisible parX
k+1 ) avec :A ( X)= 1− 2 X + X
3+ X
4 ,B ( X )=1+ 2 X + X
2 etk =2
Exercice 2 (*) (5 points)Calculer le pgcd
D
des polynômesA
etB
ci-dessous. Trouver des polynômesU
etV
tels queA U +B V = D
où :A ( X)= X
5+3 X
4+ 2 X
3− X
2− 3 X − 2
etB ( X )= X
4+2 X
3+2 X
2+ 7 X + 6
Exercice 3 (*) (4 points)
Décomposer les fractions suivantes en éléments simples dans
ℝ( X)
: 1.F( X )= X
5+ X
4+ 1
X
3− X
2.G ( X )= X
( X
2+1)( X
2+ 4)
Exercice 4 (*) (4 points)
1. Montrer que les vecteurs
v
1=(1, −1,i)
,v
2=(−1, i ,1)
,v
3=(i , 1, − 1)
forment une base deℂ
3 .2. Calculer les coordonnées de
v =(1+i , 1 −i , i)
dans cette base.Exercice 5 (**) (4 points)
Soit
E
le sous-espace vectoriel deℝ
3 engendré par les vecteursv
1=(2, 3, − 1)
etv
2=(1,− 1, −2)
etF
celui engendré parw
1=(3, 7, 0)
etw
2=(5, 0, − 7)
. Montrer queE
etF
sont égaux.Année 2014-2015 Page 1 sur 2
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Exercice 6 (**) (5 points)
Soient
E=ℝ
ℕ l'espace vectoriel des suites réelles etF
le sous espace vectoriel deE
des suites convergentes :F ={(u
n)
n∈ℕ∈E |(u
n)
n∈ℕconverge }
. 1. Montrer que l’ensembleF
1 des suites constantes et l’ensembleF
2 des suites convergeant vers0
sont des sous-espaces vectoriels deF
.2. Montrer que
F
1 etF
2 sont supplémentaires dansF
.Indication
:Pour une suite (u
n) qui converge vers un réel l regarder la suite (u
n−l ) .
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