On dit que m est de a-torsionsi a.m= 0 et que m est divisible para s’il existe n∈M tel que m=a.n

Universit´e Paris 7-Denis Diderot Alg`ebre – Ann´ee 2007-08

M1 math´ematiques R. Mneimn´e - L. Merel

Devoir `a rendre le 9 novembre 2007

SoientK un corps,E unK-espace vectoriel etuun endomorphisme deE. On s’int´eresse `a d´eterminer S={v∈End(E)/vu−uv= 1}, en ´etudiantE commeK[X]-module.

On note 1 l’´el´ement identit´e de End(E), u1u2 la compos´ee de deux endomorphismes u1 et u2, vx l’image par un endomorphisme v d’un ´el´ement x de E et on pose, dans la K-alg`ebre End(E), P(v) = a<sub>0</sub>1 +a<sub>1</sub>v+...+a<sub>n</sub>v<sup>n</sup> (o`uP(X) =a₀+a₁X+...+a_nXⁿ∈K[X]).

SoitA un anneau int`egre. SoitM un A-module. Soient a ∈A, a 6= 0 et m∈ M. On dit que m est de a-torsionsi a.m= 0 et que m est divisible para s’il existe n∈M tel que m=a.n. On dit que m est de torsions’il existe a∈ A, a6= 0 et mde a-torsion. On dit que m est divisible s’il est divisible par tout

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el´ement non nul deA.

Rappelons que siA est principal et siM est un A-module de type fini, il existe des entiersr,s≥0 et des id´eaux d´ecroissantsI1, ...,IsdeAtels que M est isomorphe `aA^r×A/I1×...×A/Is.

I

1. Montrer que l’applicationK[X]×E→E qui `a (P, x) associe P(u)xfait deE unK[X]-module.

2. Montrer que l’ensemble T des ´el´ements de torsion et l’ensembleD des ´el´ements divisibles de E sont des sous-K[X]-modules deE.

3. SoientP∈K[X] etx∈E deP-torsion. Montrer quexest divisible par toutQ∈K[X] premier `aP. 4. D´eterminerT etDlorsqueEest l’un desK[X]-modules suivant : K[X],K(X),K[X]/(P) (o`uP ∈K[X], P 6= 0),K(X)/K[X]. Dans quels cas a-t-onT ⊂D ?

5. Supposons E de type fini comme K[X]-module. Montrer que D ={0}. (On pourra utiliser queE est isomorphe `aK[X]^r×K[X]/(P1)×...×K[X]/(Ps) avecr,s entiers≥0 etP1,...,Ps∈K[X]− {0}avec les relations de divisibilit´eP1|P2...|Ps.) En d´eduire queT ⊂Dsi, et seulement si, Eest unK[X]-module libre.

II On suppose que le corpsK est de caract´eristique 0.

1. Montrer quevP(u)−P(u)v=P⁰(u) (P∈K[X],v∈S) (on pourra commencer parP(X) =X^k).

2. Supposons S6=∅. SoientP ∈K[X] etx∈E deP-torsion. Montrer que xest divisible parP⁰, puis que xest divisible parP, puis quexest divisible. En d´eduire la relation T ⊂D.

3. Supposons encore queS6=∅. Si leK[X]-moduleEest de type fini, montrer qu’il est libre. (En particulier, E est unK-espace vectoriel nul ou de dimension infinie ; retrouver ce dernier point en consid´erant la trace deuv−vu= 1.)

4. Si E =K[X], montrer que l’application P 7→P⁰ est dansS. En d´eduire que siE est un K[X]-module libre,S est non vide.

5. SiE=K(X), montrer que la d´erivation fournit encore un ´el´ement deS. Montrer que siE=K(X)/K[X], S est non vide.

III

Supposons queKest de caract´eristique non nullepet queEest de dimension finied. NotonsM le polynˆome minimal deu.

1. Montrer que K[X^p] co¨ıncide avec l’ensemble des polynˆomes de K[X] de d´eriv´ee nulle. Montrer que si Q∈K[X] est de d´eriv´ee nulle, l’applicationK[X]/(Q)→K[X]/(Q) qui `a la classe ¯P deP associe la classe deP⁰ est bien d´efinie.

2. Montrer que siS6=∅, on ap|d(on pourra consid´erer la trace deuv−vu).

3. Montrer que siv∈S, on a vP(u)−P(u)v=P⁰(u) (P ∈K[X]). En d´eduire queM⁰= 0.

4. En d´eduire que siS6=∅, il existe un entiers≥0 et des polynˆomes non nulsP1,...,Ps∈K[X^p]− {0} tels queE est isomorphe commeK[X]-module `a K[X]/(P1)×...×K[X]/(Ps).

5. R´eciproquement, si E =K[X]/(P1)×...×K[X]/(Ps), avec P1,...,Ps ∈K[X^p] des polynˆomes non nuls v´erifiant les relations de divisibilit´e P1|P2|...|Ps, montrer que l’application ( ¯Q1, ...,Q¯s) 7→ ( ¯Q⁰₁, ...,Q¯⁰_s) est dansS.