Université Bordeaux 1 MHT631 – Licence
Mathématiques Année 2010–2011
FEUILLE D’EXERCICES no 13 Révision
Exercice 1 – On considère la matrice 3×3suivante : M =
1 1 1 1 5 5 1 5 14
.
1) Montrer que M est symétrique définie positive.
2) Déterminer la décomposition de Cholesky de M.
3) Quelle est la décomposition LU deM? 4) Calculer l’inverse deM.
5) On considère le système (S) : AX = B, où X ∈ R3 et où A ∈ M4,3(R) et B ∈R4 sont respectivement définis par
A=
1 −1 2 1 −1 −4
1 3 6
1 3 0
et B =
2
−5 11 3
.
Montrer que A est de rang 3 et que (S) n’a pas de solution.
6) On note k k la norme euclidienne de R3. À l’aide des questions précédentes, déterminer X0 ∈R3 vérifiant
kAX0−Bk= inf
X∈R3
kAX −Bk.
7) Soit n >2 un entier. On considère la matrice n×n suivante :
Sn =
f(1) f(1) f(1) · · · f(1) f(1) f(1) f(2) f(2) · · · f(2) f(2) f(1) f(2) f(3) · · · f(3) f(3)
... ... ... ... ... f(1) f(2) f(3) · · · f(n−1) f(n−1) f(1) f(2) f(3) · · · f(n−1) f(n)
,
où
f(i) = i(i+ 1)(2i+ 1)
6 .
Montrer que Sn est symétrique définie positive et déterminer sa décomposition de Cholesky.
Exercice 2 – Soit n>2 un entier. On considère la matricen×n suivante :
Sn=
4 −2 0 0 · · · 0
−2 5 −2 0 ...
0 −2 5 −2 . .. ... ... . .. ... ... −2 0
... 0 −2 5 −2
0 · · · 0 0 −2 5
.
1) Montrer que Sn est symétrique définie positive.
2) Déterminer la décomposition de Cholesky de Sn. 3) Quelle est la décomposition LU deSn?
4) Calculer l’inverse deS4.
Exercice 3 – Soit n > 2 un entier et soit k un réel non nul. On considère la forme quadratique qn définie sur Rn par
qn(x1, x2, . . . , xn) = k2x21+ (k2+ 1)
n
X
i=2
x2i + 2k
n−1
X
i=1
xixi+1.
1) Montrer que si n>3 on a
qn(x1, x2, . . . , xn) = (kx1+x2)2+qn−1(x2, x3, . . . , xn).
2)En déduire une décomposition deqn(x1, x2, . . . , xn)comme somme den carrés de formes linéaires en les xi.
3) Montrer que la forme quadratique qn est définie positive.
4) On considère la matrice
Sn=
k2 k 0 · · · 0
k k2+ 1 k . .. ... 0 k k2+ 1 . .. 0 ... . .. . .. . .. k 0 · · · 0 k k2+ 1
.
Montrer que Sn est définie positive et déterminer sa décomposition de Cholesky.
5) La matrice Sn admet-elle une décomposition LU et si oui laquelle ? 6) Retrouver ce résultat par la méthode du pivot.
Exercice 4 – On considère la matrice M =
a b 0 b a c 0 c a
,
où (a, b, c)∈R3.
1)À quelles conditions sura,betc,M est-elle inversible ? On supposera désormais que ces conditions sont remplies.
2) Calculer les matrices de Jacobi et de Gauss-Seidel associées àM.
3) Montrer que la méthode de Gauss-Seidel converge si et seulement si celle de Jacobi converge aussi.
4) En cas de convergence simultanée, quelle est la méthode la plus rapide ?
Exercice 5 – Prouver les résultats vus dans le cours concernant les polynômes de Legendre et Hermite.
1) Pour n > 0 on appelle n-ième polynôme de Legendre le polynôme Ln défini par
Ln(X) = 1 2nn!
dn dXn
(X2−1)n
.
Vérifier qu’il s’agit d’un polynôme de degré n et calculer son terme dominant.
2) Soit ω définie sur ]−1,1[ par ω(x) = 1. Soit (Pn)n>0 la suite de polynômes orthogonaux unitaires associée à ω. Montrer que pour tout n on a
Pn = 2n
2n n
Ln.
3) Pour n > 0 on appelle n-ième polynôme de Hermite le polynôme Hn défini par
Hn(X) = (−1)nexp(X2/2) dn dXn
exp(−X2/2) .
Vérifier qu’il s’agit d’un polynôme de degré n et calculer son terme dominant.
4) Soit ω définie sur ]− ∞,∞[ par ω(x) = 1
√2πexp(−X2/2).
Montrer que (Hn)n>0 est la suite de polynômes orthogonaux unitaires associée à ω.
