D151 La ronde des neuf points [*** à la main]

(1)

D151 La ronde des neuf points [*** à la main]

Solution

Intéressons nous d’abord à l’intersection I de OB et de AT. Soit αOIA.Soient OA = a = 6, OT = b = 42, AB = c = 8.

En dessinant quatre fois le rectangle OTUA comme dans la figure ci-après, on construit un carré de côté a + b à l’intérieur duquel apparaît le carré ATVW (côtés en bleu). Si AV en est l’un des deux diagonales, alors TAV = 45°.

Nous allons démontrer que αOIA=TAV = 45°.

Ces égalités sont vérifiées si OB est parallèle à AV ou encore si les deux triangles rectangles OAB et AXV sont semblables ou encore si

XV AX AB

OA 

a b

a b c b



  qui donne la relation

a b

a) c b(b



  .

Ceci est bien le cas avec c = 8 =

36 6) (42

*

6 

. Si on calcule de la même manière les quantités

a b

a) c b(b



  correspondant aux points J,K,L et M, on constate qu’elles sont égales respectivement aux abscisses des points C,D,E et F.

Tous les angles OIA, OJA, OKA, OLA et OMA sont donc égaux à 45° .

Soient H et N sur AU et OT tels que OAHN est un carré. On a OHA = ONA = 45°. Il en résulte que les 7 angles OIA ,OJA,OKA,OLA,OMA,OHA et ONA sous- tendent le même arc de cercle dont OA est la corde .Les neuf points O,A,H,I,J,K,L,M et N sont cocycliques et se trouvent sur le cercle de rayon 3 2, dont le centre a pour

coordonnées (3,3) et qui coupe l’axe Ox et la parallèle (L) selon les quatre sommets du carré OAHN.

(2)

Grâce à un programme informatique très simple, on obtient les 21 points avec une parallèle (L) située à une distance de 60 de l’axe Ox. Les abscisses toutes inférieures à 1000 sur chacune des deux droites sont les suivantes:

- sur l’axe Ox : 150, 156, 160, 180, 204, 210, 220, 240, 260, 285, 300, 346, 360, 420, 460, 510, 540, 660, 780, 860, 960

- sur la parallèle (L) : 68, 69, 70, 72, 75, 76, 78, 80, 84, 85, 90, 92, 96, 100, 105, 108, 110, 120, 132, 135, 140

Les termes de la 1^ère ligne sont b , ceux de la 2^ème ligne sont c et a = 60. On vérifie comme précédemment que le calcul de

a b

a) b(b



 pour les 21 valeurs de b donne bien les 21 valeurs de c.

Cela donne au total 25 points cocycliques si on inclut les quatre sommets du carré OAHN.