E551. Des rondes à la ronde
1ère ronde : Dans cette première ronde fermée, on écrit tous les entiers positifs de 1 à n de telle sorte que deux nombres adjacents ont au moins un chiffre en commun. Quelle est la plus petite valeur possible de n ?
2ème ronde : Dans cette deuxième ronde fermée, on écrit les chiffres de 1 à 9 de telle sorte que les nombres constitués par deux chiffres adjacents et lus dans le sens des aiguilles d’une montre ne comportent jamais de facteur premier à deux chiffres. Trouver un arrangement possible des neuf chiffres.
3ème ronde : Dans cette troisième ronde fermée des entiers positifs de 1 à n, la différence en valeur absolue qui sépare deux entiers adjacents est toujours égale à 2 ou à 3. Existe-t-il une ronde des entiers de 1 à 2011 ? Quels sont les entiers n tels qu’il n’existe pas de ronde fermée de 1 à n (par exemple n=2) ? Pour les plus courageux : mêmes questions quand on impose des écarts égaux à 3 ou à 4.
Q1 Le chiffre 9 réclame deux voisins, la 1ère ronde doit contenir au minimum les nombres 19 et 29, sans aller jusque 90. Il semble que n = 29 convienne.
Le chiffre 1 dispose d'une abondance de voisins admissibles.
Il faut raccorder les enchaînements 12-2-21 ; 13-3-23 ; 14-4-24 ; 15-5-25 ; 16-6-26 ; 17-7-27 ; 18-8-28 ; et 19-9-29 .
Essayons : 12-2-21-23-3-13-14-4-24-25-5-15-16-6-26-27-7-17-18-8-28-29-9-19
Ces 8 enchaînements de 3 nombres font un total de 24 nombres. Quels sont les 29-24 = 5 oubliés ? Les 5 manquants à insérer sont 1, 10, 11, 20, 22.
12-2-21-20-23-3-13-10-14-4-24-22-25-5-15-1-16-6-26-27-7-17-11-18-8-28-29-9-19 est l'une des
solutions. ( sans oublier de vérifier que la ronde se boucle car le 19 final accepte pour voisin le 12 initial ) Q2 26 nombres de 2 chiffres ( chiffre zéro exclus ) sont acceptables ils sont classés dans le tableau de gauche en fonction du chiffre des dizaines et dans le tableau de droite, de celui des unités :
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9
12 21 32 42 54 63 72 81 96 21 12 63 14 15 16 27 18 49
14 24 35 45 56 64 75 98 81 32 24 25 36 28
15 25 36 48 42 54 35 56 48
16 27 49 72 64 45 96 98
18 28 75
Le tableau bleu montre que 7 n'est précédé que par 2, et que 3 n'est précédé que par 6.
Le tableau vert montre que 27 est suivi par 5 , ce qui donne 275.
Le tableau bleu donne le choix 1275, 3275, ou 4275.
1275→81275, 3275→63275, 4275→427563.
81275→( 812754963 ce n'est pas une ronde, ou 8127563 sans issue) 63275→(8163275 , ou 4963275 sans issue )
8163275 →(48163275 sans issue ou 498163275 qui est une ronde car 54 est permis) 427563 n'est pas possible car 4 doit être suivi par 9.
Pour la question Q2, la réponse est unique.
Q3 Pour des écarts toujours égaux à 2 ou 3, une ronde pour { 1...2011} existe :
1-4-2-5- suivi par tous les impairs successifs depuis 7 jusqu'à 2007-suivi par 2010-2008-2011-2009-2006- suivi par tous les nombres pairs en descente depuis 2004 jusqu'à 6 -et terminant par 3- 1
Pour n=2 n=3 n=4 pas de ronde possible.
Pour n=5, 1-4-2-5-3-1 convient.
Je ne trouve pas de ronde pour n appartenant à { 6,7,8,9 }
Pour n=10 1-3-6-9-7-10 - 8- 5-2-4-1 11 1-4-2-5-7-10-8-11- 9- 6-3-1
12 1-3-6-8-11-9-12-10- 7-5-2-4-1 13 1-4-2-5-7-9-12-10-13-11- 8-6-3-1
14 1-3-6-8-10-13-11-14-12-9-7-5-2-4-1 15 1-4-2-5-7-9-11-14-12-15-13-10-8-6-3-1
Pour n>9 on peut toujours rejoindre le bas de la ronde : 6-3-1-4-2-5 (si n impair ) ou 5-2-4-1-3-6 ( si n pair) et le haut de la ronde (n-4)-(n-1)-(n-3)-n-(n-2)-(n-5) en remplissant les intervalles montant et descendant par les nombres convenables pris de 2 en 2 sans omettre aucun nombre de [1...n].
Quand les écarts sont égaux à 3 ou 4, le bas de la ronde est nécessairement : 8-4-1-5-2-6-3-7 ou , dans l'ordre inverse 7-3-6-2-5-1-4-8
et le haut de la ronde est : (n-7)-(n-3)-n-(n-4)-(n-1)-(n-5)-(n-2)-(n-6)
Je remarque que 8 et 7 diffèrent de 1, de même que (n-7) et (n-6) diffèrent de 1, Ci-dessous, de gauche à droite, on trouve 5 schémas : rose , rose, vert, bleu, violet.
Le premier représente le 'bas' de la ronde .Le 2ème représente le 'haut' de la ronde:
On peut les joindre en faisant n = 14 on obtient la ronde : 8,4,1,5,2,6,3,7,11,14,10,13,9,12,8
[1..8] [(n-7)..n] [b..(b+8)] [c..(c+9)] [d..(d+10]
On peut aussi les joindre en intercalant l'un des 3 maillons vert, bleu ou violet : Vert : d'un côté (b+1)(b+5)(b+2)(b+6)(b+3)(b+7) de l'autre : (b+8)(b+4)b.
Bleu : d'un côté (c+1)(c+5)(c+2)(c+6)(c+9) de l'autre : (c+8)(c+4)(c+7)(c+3)c.
Violet : d'un côté (+1)(d+4)(d+8)(d+5)(d+2)(d+6)(d+9) de l'autre (d+10)(d+7)(d+3)d.
On obtient les rondes (1..21), (1..22) et (1..23) :
8,4,1,5,2,6,3,7,11,15,19, 16,20,17,21,18,14,10,13,9,12,8.
8,4,1,5,2,6,3,7,10,14,11,15,19,22,18,21,17,20,16,13,9,12,8 8,4,1,5,2,6,3,7,10,14,17,21,18,22,19,23,20,16,13,9,12,15,11,8 On peut encore intercaller plusieurs maillons :
Chacun, vert bleu ou violet allonge la ronde de 7,8, ou 9 nombres.
Pour tout entier n de la forme n = 14 + 7x + 8y + 9z , ou x,y,z sont positifs ou nuls, une ou plusieurs rondes (1,n) existent.
L'ensemble des n qui conviennent est : {14} U {21,22,23} U [28..32] U [35.. l'infini [
