A458. Fractions en ronde fermée

A458. Fractions en ronde fermée

1/ Casn= 2 : supposons l’existence d’entiersaetbtels que^a_b+^b_a =S₂ou encore a²−S₂ab+b²= 0,et considérons une solution minimale 0< a < b(toute partie non vide deNadmet un plus petit élément). L’équation X²−S₂aX+a² = 0 admettrait alors une deuxième solution b⁰, entière puisque b⁰ =S₂a−b,mais surtout telle queb⁰= ^a_b² < a: contradiction.

Pour tout n > 3, nous avons Sn = 1 + (n−1)ⁿ⁻¹ avec la suite définie par ak= (n−1)^k−1 pour 16k6n.

2/ Montrons que si ^a_b +^b_c+_a^c =S3 entier, alorsabcest un cube.

Soitd= gcd (a, b, c) et quitte à considérer ^a_d,_d^b,^c_d et ^abc_d3 à la place dea, b, c et abc,nous pouvons supposer qued= 1.

Sipdiviseabc,alorspdivise un des trois nombres, d’après le lemme d’Euclide (invoqué implicitement dans la suite).

Mais avec l’équation réécrite ena²c+ab²+bc²=S3abc,il divisera également un deuxième nombre, sans toutefois diviser le troisième nombre, nous étant placés dans le cas oùd= 1.

Sans nuire au cas général, posonsa=p^xa⁰ etb=p^yb⁰ oùa⁰, b⁰ etcne sont pas divisibles parp.D’où p^2xa⁰²c+p^x+2ya⁰b⁰²+p^yb⁰c²=S3p^x+ya⁰b⁰c.

Alorsp^x divise p^y, d’où x6y. Doncp^2x divise p^y et 2x6 y.Mais, p^y divise aussip^2x,d’où y62x.Finalementy= 2xetabc=p^3xa⁰b⁰c.

abcest clairement un cube, mais en considérantd= gcd (a, b), e= gcd (b, c) et f = gcd (ac),nous montrons quea=df², b=ed²etc=e²f,d’oùabc= (def)³. De plus,d, e etf vérifient alors la relationd³+e³+f³=S3def.

3/ D’après l’inégalité arithmético-géométrique, Sn > n,l’égalité ayant lieu ssi a1=. . .=an.Dans les conditions de l’énoncé, nous avons doncSn >n+ 1.

Le casS3= 4 n’admet pas de solution, mais je n’ai pas trouvé de démonstration élémentaire (voir le commentaire de la suite A072716, ainsi que la référence, la démonstration faisant appel à la théorie des courbes elliptiques, pourn= 4 la courbe est de rang nul et sans point rationnel non trivial).

Enfin,s= 5 = ¹₂+²₄+⁴₁= ³²₅₅+⁵⁵₅₀+⁵⁰₈₈+⁸⁸₃₂,pour n= 3 ou 4.

4/ En cherchant autour de 2000 = 2⁴5³, je suis parvenu au bout d’un certain temps à l’exemple suivant, mais sans aucune certitude qu’il soit le plus court !

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2+²₄+⁴₅+₂₅⁵ +²⁵₂₀+²⁰₅₀+⁵⁰₄₀+⁴⁰₈₀+₁₀₀⁸⁰+¹⁰⁰₁₂₅+¹²⁵₂₅₀+²⁵⁰₅₀₀+₁₀₀₀⁵⁰⁰ +¹⁰⁰⁰₂₀₀₀+²⁰⁰⁰₁ = 2009.

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