• Aucun résultat trouvé

A458. Fractions en ronde fermée

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Partager "A458. Fractions en ronde fermée"

Copied!
1
0
0

Texte intégral

(1)

A458. Fractions en ronde fermée

1/ Casn= 2 : supposons l’existence d’entiersaetbtels queab+ba =S2ou encore a2S2ab+b2= 0,et considérons une solution minimale 0< a < b(toute partie non vide deNadmet un plus petit élément). L’équation X2S2aX+a2 = 0 admettrait alors une deuxième solution b0, entière puisque b0 =S2ab,mais surtout telle queb0= ab2 < a: contradiction.

Pour tout n > 3, nous avons Sn = 1 + (n−1)n−1 avec la suite définie par ak= (n−1)k−1 pour 16k6n.

2/ Montrons que si ab +bc+ac =S3 entier, alorsabcest un cube.

Soitd= gcd (a, b, c) et quitte à considérer ad,db,cd et abcd3 à la place dea, b, c et abc,nous pouvons supposer qued= 1.

Sipdiviseabc,alorspdivise un des trois nombres, d’après le lemme d’Euclide (invoqué implicitement dans la suite).

Mais avec l’équation réécrite ena2c+ab2+bc2=S3abc,il divisera également un deuxième nombre, sans toutefois diviser le troisième nombre, nous étant placés dans le cas oùd= 1.

Sans nuire au cas général, posonsa=pxa0 etb=pyb0a0, b0 etcne sont pas divisibles parp.D’où p2xa02c+px+2ya0b02+pyb0c2=S3px+ya0b0c.

Alorspx divise py, d’où x6y. Doncp2x divise py et 2x6 y.Mais, py divise aussip2x,d’où y62x.Finalementy= 2xetabc=p3xa0b0c.

abcest clairement un cube, mais en considérantd= gcd (a, b), e= gcd (b, c) et f = gcd (ac),nous montrons quea=df2, b=ed2etc=e2f,d’oùabc= (def)3. De plus,d, e etf vérifient alors la relationd3+e3+f3=S3def.

3/ D’après l’inégalité arithmético-géométrique, Sn > n,l’égalité ayant lieu ssi a1=. . .=an.Dans les conditions de l’énoncé, nous avons doncSn >n+ 1.

Le casS3= 4 n’admet pas de solution, mais je n’ai pas trouvé de démonstration élémentaire (voir le commentaire de la suite A072716, ainsi que la référence, la démonstration faisant appel à la théorie des courbes elliptiques, pourn= 4 la courbe est de rang nul et sans point rationnel non trivial).

Enfin,s= 5 = 12+24+41= 3255+5550+5088+8832,pour n= 3 ou 4.

4/ En cherchant autour de 2000 = 2453, je suis parvenu au bout d’un certain temps à l’exemple suivant, mais sans aucune certitude qu’il soit le plus court !

1

2+24+45+255 +2520+2050+5040+4080+10080+100125+125250+250500+1000500 +10002000+20001 = 2009.

1

Références

Documents relatifs

Pourquoi on ne peut pas d´ efinir le corps des fractions d’un anneau non-int`

Cette espèce attire souvent une faune spécifique, comme l'Athalie du rosier, le Cynips du cent- feuilles (Rhodites centifoliae 14 ) ou la Nepticule du cent-feuilles

[r]

a décidé en 2011 de porter plainte contre l’ OTAN , l’Union européenne et les pays de la coalition en opération en Libye pour non assistance à personnes en danger.

2ème ronde : Dans cette deuxième ronde fermée, on écrit les chiffres de 1 à 9 de telle sorte que les nombres constitués par deux chiffres adjacents et lus dans le sens des

Quelle fraction des bouquets lui reste-t-il en fin de

[r]

[r]