Limites de fractions rationnelles Cas x → a ∈ R
On remplace x par a, si on tombe sur une valeur réelle, c’est la limite ! Calculez par exemple :
limx→1(x+ 1 x+ 2)
xlim→−1(1 x + 1) Cliquez ☞ ici pour les réponses.
On remplace x par a, si on tombe sur forme indéterminée (voir documents), on met sur un seul dénominateur (dénominateur commun, addition des fractions), a) on factorise numérateur et dénominateur et on simplifie par les facteurs communs ou
b) on divise numérateur et dénominateur par x-a autant de fois que c’est possible (pour les deux).
Après simplification ou division, on remplace de nouveau x par a. Si alors 1) on tombe sur la forme bc avec b, c ∈ R, c 6= 0 , alors c’est déjà la limite.
2) on tombe sur la forme bc avec b ∈ R, c = 0, b 6= 0 , alors, il faut décider (discussion du signe du dénominateur) si le dénominateur c → 0+ ou c → 0− et employer le tableau suivant pour trouver la limite cherchée :
: c → 0+ c → 0−
b > 0 +∞ −∞
b < 0 −∞ +∞
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limx→2
x−2 x2 −3x+ 2 limx→2
(x−2)2 x4 −16 lim
x→−52−
−x2 + 3x 2x+ 5 lim
x→53+
4x+ 7 3x−5 limx→2
x2 +x−6 2x2 −14x+ 20 limx→1
x2 −1 (x−1)2(x+ 3) limx→4
x2 +x−40
−2x2 −12x−18
xlim→−4
−2x2 + 1
(x+ 4)(x+ 5)2(−2x2 + 3x+ 1)
xlim→−5
−2x2 + 1
(x+ 4)(x+ 5)2(−2x2 + 3x+ 1)
x→−lim1−
4x−5
(x+ 1)2(−3x2 −2x+ 1)
x→−lim5+
x2 −4
x3 +x2 −16x+ 20
xlim→2+
x2 −4
x3 +x2 −16x+ 20
xlim→4− −x+ 4 −
x−4
xlim→1
1
3(x2 −1) − 1 2(x3 −1)
xlim→4
x+ 6
x2 −16 − x+ 1 x(x−4)
xlim→1
2
1−x2 − 3 1−x3
xlim→2+
2x−7
x2 −x−2 − 1 x2 −3x+ 2
xlim→−3
2x−5
x2 −x−12 − 55
7x2 + 7x−42
xlim→2
x+ 3 + x+1x−2 x+ xx−22
xlim→3
x2 + x+1x−3 2x+ 1− xx−23
xlim→2+(x−2)(1 + 1
x−2 + 1 (x−2)2)
xlim→5(x2 −6x+ 5) x−3 x2 −7x+ 10
xlim→1(x−1)( 1
x4 −1 − 1
x3 −1 − 1
x2 −1 + 1 x−1)
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xlim→5+
x x−5
xlim→5−
x x−5
xlim→5+
x
|x−5|
xlim→5−
x
|x−5|
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xlim→1(
x+ 2) = 3
xlim→−1(1
x + 1) = 0
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xlim→2
x−2
x2 −3x+ 2 = 1
xlim→2
(x−2)2 x4 −16 = 0 lim
x→−52−
−x2 + 3x
2x+ 5 = +∞
lim
x→53+
4x+ 7
3x−5 = +∞
xlim→2
x2 +x−6
2x2 −14x+ 20 = −5 6
xlim→1+
x2 −1
(x−1)2(x+ 3) = +∞
xlim→−3
x2 +x−40
−2x2 −12x−18 = +∞
x→−lim4−
−2x2 + 1
(x+ 4)(x+ 5)2(−2x2 + 3x+ 1) = −∞
xlim→−5
−2x2 + 1
(x+ 4)(x+ 5)2(−2x2 + 3x+ 1) = −∞
x→−lim1−
4x−5
(x+ 1)2(−3x2 −2x+ 1) = +∞
x→−lim5+
x2 −4
x3 +x2 −16x+ 20 = +∞
xlim→2+
x2 −4
x3 +x2 −16x+ 20 = +∞
xlim→4− −x+ 4 −
x−4 = +∞
xlim→1
1
3(x2 −1) − 1
2(x3 −1) = 1 12
xlim→4
x+ 6
x2 −16 − x+ 1
x(x−4) = 1 32
xlim→1
2
1−x2 − 3
1−x3 = −1 2
xlim→2+
2x−7
x2 −x−2 − 1
x2 −3x+ 2 = −∞
xlim→−3
2x−5
x2 −x−12 − 55
7x2 + 7x−42 = − 92 245
xlim→2
x+ 3 + x+1x−2 x+ xx−22 = 3
4
xlim→3
x2 + x+1x−3
2x+ 1− xx−23 = −4 9
xlim→2+(x−2)(1 + 1
x−2 + 1
(x−2)2) = +∞
xlim→5(x2 −6x+ 5) x−3
x2 −7x+ 10 = 8 3
xlim→1(x−1)( 1
x4 −1 − 1
x3 −1 − 1
x2 −1 + 1
x−1) = 5 12
☞ Retour
xlim→5+
x
x−5 = +∞
xlim→5−
x
x−5 = −∞
xlim→5+
x
|x−5| = +∞
xlim→5−
x
|x−5| = +∞
☞ Retour
