Enonc´e noE323 (Diophante)
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
La premi`ere r´eponse de S´ebastien montre que le nombre inconnuN n’est ni 10, ni 99 : ce sont les deux nombres de deux chiffres d´etermin´es par la somme de leurs chiffres ; toutes les autres sommes, de 2 `a 17, peuvent correspondre
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a plusieurs nombres.
La premi`ere r´eponse de Damien montre que le nombre de diviseurs permet de faire une diff´erence entre les valeurs paires et impaires deN.
Je suis la convention qui compte, parmi les diviseurs de N, 1 et N lui- mˆeme ; elle a l’avantage de faire deN une fonction multiplicative1, et permet d’expliciterd(N) `a partir de la d´ecomposition deN en facteurs premiers : d(N) =Qi(1 +ai), si lesai sont les exposants des divers facteurs premiers de N dans cette d´ecomposition.
Je dresse donc le tableau des valeurs ded(N), d’abord pourN impair.
d(1) = 1, ne convient pas pour un nombre de 2 chiffres ; d(p) = 2 pour p premier ;d(n) = 3 sinest le carr´e d’un nombre premier, soit 25 ou 49 pour un nombre impair de 2 chiffres.
d(n) = 4 si n est le cube d’un nombre premier (27) ou le produit de 2 nombres premiers : 15, 21, . . ., 91, 93, 95 pour les impairs de 2 chiffres.
d(n) = 5 si nest puissance 4e d’un nombre premier, soit 81.
d(n) = 6 sinest produit d’un nombre premier et du carr´e d’un autre nombre premier : 45, 63, 75, 99.
Mais on voit que d(n) > 6 n’est pas accessible aux nombres impairs de 2 chiffres ; les ensembles (ai) d’exposants qui donnent ces nombres de diviseurs conduisent, quand le plus petit facteur premier est 3, `a des nombres de plus de 2 chiffres.
d(729) = 7,d(105) = 8,d(225) = 9,d(405) = 10,d(59049) = 11,d(315) = 12 sont les plus petites valeurs den pour cesd(n).
SiN est impair, d(N) prend l’une des valeurs 2, 3, 4, 5, 6.
J’examine maintenant les valeurs ded(N) pourN pair.
SiN n’a qu’un facteur premier, celui-ci est 2, l’exposant est 4 `a 6 pour que N ait deux chiffres et d(N) peut ˆetre 5, 6 ou 7 (mais pas 2, 3 ou 4). Avec plusieurs facteurs premiers, d(N) = 4 correspond aux nombres pairs de la forme 2p, de 22 `a 94 ;d(N) = 5 correspond `aN = 16 ;d(N) = 6 correspond aux nombres pairs de la forme 4p, de 20 `a 92, ainsi qu’`a 18, 50 et 98.
La comparaison avec la liste des d(N) pour N impair nous apprend donc qued(N) n’est pas 4, 5 ou 6 car ces valeurs ne permettent pas de trancher sur la parit´e deN.
De plus, puisque Damien ne peut pas encore conclure, nous devons ´ecarter les cas d(N) = 7 (qui ferait connaˆıtre N = 64, seule puissance 6e de 2
1d(mn) =d(m)d(n) simetnsont premiers entre eux
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chiffres) etd(N) = 9 (qui ferait connaˆıtre N = 36, seul produit de 2 carr´es de facteurs premiers n’ayant que 2 chiffres ; avec un seul facteur premier, d(256) = 9 est la plus petite valeur de n).
Je dresse alors la liste desn`a 2 chiffres pour les valeurs acceptables ded(n) : d(n) = 2 pour n= 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
d(n) = 3 pour n= 25, 49.
d(n) = 8 pour n= 24, 30, 40, 42, 54, 56, 66, 70, 78, 88.
d(n) = 10 pour n= 48, 80.
d(n) = 12 pour n= 60, 84, 90, 96.
S´ebastien, qui a pu tirer la mˆeme conclusion de la d´eclaration de Damien, est alors en mesure de connaˆıtre N. Ce ne serait pas possible si la somme des chiffres (qu’il connaˆıt) pouvait correspondre `a plusieurs des nombres de cette liste. Je r´e´ecris cette liste par somme des chiffres :
somme 2 pour 11 somme 3 pour 30,
somme 4 pour 13, 31, 40, somme 5 pour 23, 41, somme 6 pour 24, 42, 60, somme 7 pour 25, 43, 61, 70, somme 8 pour 17, 53, 71, 80, somme 9 pour 54, 90,
somme 10 pour 19, 37, 73, somme 11 pour 29, 47, 56, 83, somme 12 pour 48, 66, 84, somme 13 pour 49, 67, somme 14 pour 59, somme 15 pour 78, 96, somme 16 pour 79, 88, 97, somme 17 pour 89.
Les seules valeurs `a consid´erer pour la somme sont donc 2, 3, 14, 17 et les valeurs correspondantes pourN.
Revenant `a la liste par nombre de diviseurs, il reste alors d(n) = 2 pour n= 11, 59, 89.
d(n) = 8 pour n= 30.
Damien est en mesure de conclure, ce qu’il ne pourrait pas faire s’il avait re¸cu l’indication d(N) = 2. Il connaˆıt donc d(N) = 8 et je conclus avec lui N = 30.
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