A359. Quod abundat non vitat (a)
Par convention, le degré d’abondance d(n) d’un entier naturel n > 0 est égal au rapport σ(n) / n où σ(n) désigne la somme des diviseurs de n , y compris 1 et n.
Q1 Déterminez les plus petits entiers dont les degrés d’abondance sont respectivement ≥ 2, 3, 4 et 5. Justifiez votre réponse.
Q2 Un entier k > 1 étant fixé à l’avance, prouvez qu’on sait toujours trouver au moins un entier (pas nécessairement le plus petit) tel que son degré d’abondance est au moins égal à k.
Q3 Un entier n > 1 étant fixé à l’avance, prouvez qu’on sait toujours trouver une suite S strictement croissante de n entiers positifs telle que la suite S’ constituée par la somme des diviseurs de chacun des n termes de S est strictement décroissante.
(a) Abondance de biens ne nuit pas.
Solution proposée par Claudio Baiocchi Q1
On vérifie que le rapport en question vaut toujours au moins 1 et que l’entier est le seul pour lequel le rapport vaut 1, on va demander à l’ordinateur de chercher ce qui se passe pour qui varie de 2 à 1000. On apprend tout de suite que n=6 est le plus petit entier avec rapport au moins 2 . Après une courte attente on apprend que n=120 est le plus petit avecun rapport au moins égal à 3 ; ensuite l’ordinateur nous informe que, pour , on n’a pas de solution avec un rapport au moins égal à 4. .
Deux possibilités se présentent : laisser grandir à volonté, ou donner un coup d’œil à l’encyclopédie des séquences entières en lui donnant comme suite de départ. Naturellement rien n’empêche de faire les deux choses à la fois, et c’est bien le cas : pour ne pas gaspiller notre temps, autant rechercher parmi les 42 résultats fournies dans l’encyclopédie. En particulier ce qui nous intéresse est la suite A023199 , qui commence par :
1, 6, 120, 27720, 122522400, 130429015516800, 1970992304700453905270400, 1897544233056092162003806758651798777216000,
4368924363354820808981210203132513655327781713900627249499856876120704000 Un algorithme pour calculer les éléments de la suite est donné ici .
Q₂
A partir de la factorisation de l’entier n qui admet k facteurs premiers distincts pi affectés des exposants αi, on écrit
i k
1 i
αi
pi
n .
On en déduit n
σ(n)=
k i
1
i i
α i
α 1 i
1) (p p
1 p
i i
qui est le produit de k fractions de la forme
1) (p p
1 p
i α i
α 1 i
i i
.
Avec p₁ = 2, la première fraction vaut α 1α 2
1 2
= 2 - α 2
1 . Avec p₂ = 3, la fraction suivante est égale à β 1 β 2.3
1 3
= β
2.3 1 2
3 puis avec p₃ = 5, la troisième fraction s’écrit 1 γ
γ
4.5 1 5
= γ
4.5 1 4
5 .
D’une manière générale avec le facteur premier q ayant pour exposant λ≥1, la fraction correspondante est égale à λ 1).q - (q
1 1
- q
q .
Pour q suffisamment grand cette dernière expression est équivalente à 1 + q 1+ 2
q 1
1).qλ
- (q
1 .
Or Log(
n
σ(n)) = Log(
k i
1
i i
α i
α 1 i
1) (p p
1 p
i i
) = )
1) (p p
1 Log( p
i α i
α 1 i k
i
1
i i
i
qui est équivalente à
k i
1 i pi
1 .
D’après le théorème ci-après dû à P. Erdös, la série des inverses des nombres premiers est divergente
On sait donc toujours trouver des pi = 2,3,5,7,11,... et des exposants αi = 1,2,3,... tels que n σ(n)≥ d.
La table ci-contre permet d’obtenir un entier dont le degré d’abondance est supérieur à un entier donné.
Pour d = 2 on retient 2*3
Pour d=3, on retient (2*3*5)² = 900
Pour d=4, on retient (2*3*5*7)³ = 9 261 000 Pour d = 5, on retient (2*3*5*7*11*13)⁴
Pour d = 6, on retient (2*3*5*7*11*13*17*19*23)⁵ etc..
Bien entendu ces entiers ne sont pas les plus petits...
Q₃
Si l’entier n a pour degré d’abondance d(n) ≥ d₀, alors pour tout nombre premier q,l’entier m = qn a un degré d’abondance d(m) > d(n) ≥d₀.
En effet si q ne figure pas parmi les facteurs premiers de n, on a d(m)= (q+1)*d(n)/q. Si q figure déjà dans la factorisation de n avec l’exposant λ, alors d(m) = 1)
q(q 1 q
λ 1 λ 2
qui est équivalent à (q+1)/q quand q est suffisamment grand.
Soient n et n’ les plus petits entiers tels que d(n) ≥ d₀ et d(n’) ≥ d₀ + 1.
Par exemple pour d₀ = 4, n = 27720 = 2³.3².5.7.11, d(27720) = 112320/27720 = 4.051948.. et pour d₀ + 1 = 5, n’ = 122522400= 2⁵.3².5².7.11.13.17, d(122522400) = 614210688/122522400 = 5.01304... (voir Q₁ supra).
Il existe au moins un nombre premier q tel que qn > n’ . A l’évidence on a l’inégalité q > d₀ qui est équivalente à d(qn) = (q+1)d₀/q < d₀ + 1
Dans l’exemple n = 27720 et n’ = 122522400, on retient le nombre premier q’ = 4421 > n’/n = 4420 et l’on vérifie que 4421*27720 = 122550120 > 122522400 est tel que d(122550120) = 4421*d(27720) /4420= 4.051948*4421/4420 = 4.0528647... <5.01304...
La même transformation peut ainsi s’appliquer à chacun des k – 1 termes d’une suite croissante de k entiers dont les degrés d’abondance sont respectivement supérieurs ou égaux à d₀,d₀+1,d₀+2,d₀+ k – 1 ...En multipliant les termes de cette suite par des nombres premiers convenablement choisis, on obtient une suite croissante d’entiers lue de droite à gauche dont les degrés d’abondance vont en décroissant.
p_i\α_i 0 1 2 3 4 5 6 7
2 2 1,5 1,75 1,875 1,9375 1,96875 1,984375 1,9921875
3 3 2 2,52777778 2,77777778 2,89429012 2,94907407 2,97520147 2,98782579 5 3,75 2,4 3,13444444 3,46666667 3,61670494 3,68610667 3,71895424 3,73477267 7 4,375 2,74285714 3,64619048 4,04275996 4,21923804 4,30042122 4,33877468 4,35723403 11 4,8125 2,99220779 4,00779614 4,44673222 4,64113303 4,73046068 4,7726519 4,79295741 13 5,21354167 3,22237762 4,33980292 4,81712457 5,02788057 5,12466467 5,17037281 5,19237052 17 5,53938802 3,41192925 4,61010207 5,11813358 5,34211934 5,44495599 5,4935211 5,51689368 19 5,8471318 3,59150447 4,86550939 5,40243287 5,63890147 5,74745342 5,79871671 5,82338777 23 6,11291052 3,74765684 5,08625083 5,64797782 5,89521426 6,00870126 6,06229474 6,08808722 29 6,33122875 3,87688639 5,26768665 5,84968305 6,10575733 6,22329773 6,27880526 6,3055189 31 6,54226971 4,00194724 5,44309349 6,04466593 6,30928235 6,43074098 6,48809877 6,51570287 37 6,72399942 4,11010797 5,59418009 6,21257001 6,4845401 6,60937267 6,66832374 6,69669461 41 6,89209941 4,21035451 5,73395139 6,367882 6,64665355 6,77460698 6,83503183 6,86411198 43 7,05619701 4,30826973 5,87040021 6,51949633 6,80490716 6,93590715 6,99777069 7,02754322 47 7,2095926 4,39993504 5,99795984 6,66122315 6,95283989 7,08668774 7,14989613 7,1803159 53 7,34823861 4,48295269 6,11326415 6,78932274 7,08654833 7,22297019 7,28739414 7,31839889 59 7,47493238 4,55893493 6,21863498 6,90637945 7,20873019 7,34750416 7,41303886 7,44457818 61 7,59951459 4,63367157 6,32225104 7,02148527 7,32887569 7,46996256 7,53658951 7,56865449 67 7,71465875 4,70283085 6,41802139 7,12787106 7,43991925 7,58314382 7,65078026 7,68333107 71 7,82486816 4,7690679 6,50968922 7,2296975 7,54620381 7,69147444 7,76007712 7,79309294 73 7,93354688 4,8343976 6,6000846 7,33010971 7,65101219 7,79830048 7,86785597 7,90133035 79 8,03525902 4,89559251 6,68468751 7,42408529 7,74910209 7,89827869 7,96872592 8,00262945 83 8,13324999 4,95457555 6,76619626 7,51462275 7,84360333 7,99459916 8,0659055 8,10022249
