Multiples et diviseurs Arithmétique

Ar i thm é ti q ue

L’arithmétique est une partie des Mathématiques qui étudie les propriétés des nombres entiers ( nombres entiers naturels ℕ et nombres entiers relatifs ℤ )

Multiples et diviseurs

Définitii

Soient a et b deux nombres entiers relatifs.

On dit que a est un multiple de b s’il existe un nombre entier relatif k tel que a = k × b . Si b est non nul , on dit aussi que b est un diviseur de a .

Exemples

• 65 est un multiple de 13 : 65 = 5 × 13

• 14 est un diviseur de 112 : 112 = 8 × 14

• –105 est un multiple de 7 : –105 = –15 × 7 Priprniété

Soit a un nombre entier relatif.

La somme de deux multiples de a est un multiple de a .

Exemples

• 49 et 56 sont des multiples de 7 : 49 + 56 = 105 est aussi un multiple de 7 ( 105 = 15 × 7 )

• –36 et 168 sont des multiples de 12 : –36 + 168 = 132 est aussi un multiple de 12 ( 132 = 11 × 12 ) Démonstration

Soient x et y deux nombres entiers relatifs multiples de a . Alors il existe un nombre entier relatif k tel que x = k × a il existe un nombre entier relatif k’ tel que y = k’ × a Donc x + y = k a + k’ a = ( k + k’ ) × a

Comme k  ℤ et k’  ℤ alors k + k’  ℤ

Donc x + y s’écrit bien sous la forme K × a où K est un nombre entier relatif Donc x + y est bien un multiple de a .

Exercice d’application n°1

Déterminer la liste des diviseurs de 50 puis de 60.

50 = 1 × 50 2 × 25 5 × 10

donc les diviseurs de 50 sont : 1, 2, 5, 10, 25, 50

60 = 1 × 60 4 × 15

2 × 30 5 × 12

3 × 20 6 × 10

donc les diviseurs de 60 sont : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 Exercice d’application n°2

Combien y a-t-il de multiples de 17 entre 2 000 et 2 100 ?

Les multiples de 17 s’écrivent sous la forme k × 17 avec k entier naturel Alors 2 000 ≤ k × 17 ≤ 2 100

2 000 ÷ 17 ≤ k ≤ 2 100 ÷ 17

118 ≤ k ≤ 123 puisque 2000/17 ≈ 117,6... et 2100/17 ≈ 123,5...

Il y a donc 6 multiples de 17 compris entre 2 000 et 2 100 : 2 006 ( 118 × 17 ) 2 057 ( 121 × 17 ) 2 023 ( 119 × 17 ) 2 074 ( 122 × 17 ) 2 040 ( 120 × 17 ) 2 091 ( 123 × 17 )

Critères de divisibilité

Un nombre est divisible par :

• 2 s’il est pair ( se termine par 0, 2, 4, 6, 8 )

• 3 si la somme des chiffres qui le composent est un multiple de 3

• 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est un multiple de 4

• 5 s’il se termine par 0 ou par 5

• 9 si la somme des chiffres qui le composent est un multiple de 9

• 10 s’il se termine par 0 Exemples

• 2 018 est divisible par 2 car c’est un nombre pair

• 2 118 est divisible par 3 car 2 + 1 + 1 + 8 = 12 et 12 est un multiple de 3

• 2 024 est divisible par 4 car 24 est un multiple de 4

• 2 015 est divisible par 5 car il se termine par 5

• 2 718 est divisible par 2 car 2 + 7 + 1 + 8 = 18 et 18 est un multiple de 9

• 2 020 est divisible par 10 car il se termine par 0

Nombre pair, nombre impair

Définitii

Un nombre entier relatif est pair s’il est divisible par 2, sinon il est impair . Les nombres entiers relatifs pairs s’écrivent sous la forme 2 × k ( k  ℤ ) ;

impairs s’écrivent sous la forme 2 × k + 1 ( k  ℤ ) . Priprniété

Le carré d’un nombre impair est impair .

Démonstration

Soit n un nombre entier relatif impair.

Alors il existe un nombre entier relatif k tel que : n = 2 k + 1 Donc n ² = ( 2 k + 1 ) ²

n ² = ( 2 k ) ² + 2 × 2 k × 1 + 1² n ² = 4 k ² + 4 k + 1

n ² = 2 ( 2 k ² + 2 k ) + 1 Comme k  ℤ alors 2 k ² + 2 k  ℤ

Donc n ² s’écrit sous la forme 2 K + 1 avec K entier relatif ( K ↔ 2 k ² + 2 k ) Donc n ² est impair

Nombres premiers entre eux

Définitii

Deux nombres entiers relatifs a et b sont premiers entre eux lorsque 1 est l’unique diviseur commun positif de a et de b . Exemples

• 30 a pour diviseurs positifs :1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 77 a pour diviseurs positifs : 1, 7, 11, 77

le seul diviseur commun positif est 1 donc 30 et 77 sont premiers entre eux

• 42 a pour diviseurs positifs :1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42 70 a pour diviseurs positifs : 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70

42 et 70 ont trois diviseurs en commun, ils ne sont donc pas premiers entre eux Priprniété

a

b ( a  ℤ , b  ℤ* ) est une fraction irréductible lorsque a et b sont premiers entre eux . Exemples

• 30

77 est une fraction irréductible puisque 30 et 77 sont premiers entre eux.

Il en est de même pour −30 77 , 77

30 et −77 30.

• 70

42 n’est pas une fraction irréductible puisque 70 et 42 ne sont pas premiers entre eux.

70

42 = 7×10

7×6 = 10

6 = 2×5 2×3 = 5

3 ou 70

42 = 14×5 14×3 = 5

3

Nombres premiers

Attention ! Ne pas confondre « nombres premiers entre eux » et « nombres premiers » Définitii

Un nombre entier naturel est un nombre premier s’il admet exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.

Exemples

• 0 admet une infinité de diviseurs : 0 n’est pas un nombre premier

• 1 n’admet qu’un seul diviseur ( 1 ) : 1 n’est donc pas un nombre premier

• 17 admet deux diviseurs : 1 et lui-même ( car 17 = 1 × 17 et il n’y a pas d’autres possibilités ) donc 17 est un nombre premier

• 91 admet plusieurs diviseurs : 1, 7, 13, 91 donc 91 n’est pas un nombre premier

Crible d’Ératosthène

→ méthode qui permet de déterminer la liste des nombres premiers, par élimination, étape par étape ( crible = tamis, outil qui permet de sélectionner des objets selon leur taille )

Il convient de retenir les nombres premiers inférieurs à 50 :

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47

53 59 61 67 71 73 79 83 89 97

Priprniété

Tout nombre entier naturel supérieur ou égal à 2 peut s’écrire de manière unique comme le produit de nombres premiers (on parle alors de décomposition en produits de facteurs premiers)

Exemples

a) Déterminer la décomposition en produits de facteurs premiers de 1 240 puis de 660.

1240 620 310 155 31 1

2 2 2 5 31

Donc : 1240 = 2 ³ × 5 × 31 660 = 66 × 10

= 6 × 11 × 5 × 2

= 2 × 3 × 11 × 5 × 2

= 2² × 3 × 5 × 11

b) Déterminer la décomposition en produits de facteurs premiers de 284.

Grâce à une bonne connaissance des tables, on remarque que 284 = 71 × 4 donc : 284 = 2 ² × 71

c) Déduire des résultats précédents la forme irréductible de la fraction 284 1240 . 284

1240 = 2²×71

2³×5×31 = 2²×71

2²×2×5×31 = 71 310 Application

Déterminer la décomposition en produits de facteurs premiers d’un nombre permet de trouver la liste de tous ses diviseurs, en utilisant un arbre.

5⁰ 31⁰ 1×1×1 = 1

2⁰ 31¹ 1×1×31 = 31

5¹ 31⁰ 1×5×1 = 5

31¹ 1×5×31 = 155

5⁰ 31⁰ 2×1×1 = 2

2¹ 31¹ 2×1×31 = 62

5¹ 31⁰ 2×5×1 = 10

1240 31¹ 2×5×31 = 310

5⁰ 31⁰ 4×1×1 = 4

2² 31¹ 4×1×31 = 124

5¹ 31⁰ 4×5×1 = 20

31¹ 4×5×31 = 620

5⁰ 31⁰ 8×1×1 = 8

2³ 31¹ 8×1×31 = 248

5¹ 31⁰ 8×5×1 = 40

31¹ 8×5×31 = 1240

Démonstration

√

Rappel un nombre irrationnel est un nombre qui appartient à ℝ mais pas à ℚ (voir le cours sur les ensembles de nombres)

On raisonne par l’absurde

On suppose donc que

√

Cela signifie qu’il existe deux nombres entiers naturels a et b premiers entre eux tels que

√

( autrement dit : la fraction est irréductible ).

Alors (

√

(

)

2= a² b² 2b²= a²

Comme a² est écrit sous la forme 2 × k (ici, k = b²), alors a² est pair. ( voir § « Nombres pairs, nombres impairs » )

On avait démontré ceci : a est impair  a² est impair ( voir § « Nombres pairs, nombres impairs » )

Par contraposée : a² est pair  a est pair ( contraposée ↔ « tout le contraire lu dans l’autre sens » )

Donc : a est pair

Donc : il existe un nombre entier naturel k tel que a = 2 × k Ainsi : 2b²= a² devient 2b²= (2× k)²

2b²= 4× k² b²=2× k² donc b² est pair donc b est pair

C’est là qu’on aboutit à une contradiction : si a et b sont tous les deux pairs, alors ils ne peuvent pas être premiers entre eux.

Donc la supposition de départ est fausse :

√

√