Programme colle math Semaine 14 du 13/01/20 au 18/01/20 MPSI B Hoche
Polynômes et fractions rationnelles (2)
b) Divisibilité et division euclidienne
Divisibilité dansK[X], diviseurs, multiples. Caractérisation des couples de polynômes associés.
Théorème de la division euclidienne. I : algorithme de la division euclidienne.
c) Fonctions polynomiales et racines
Fonction polynomiale associée à un polynôme.
Racine (ou zéro) d’un polynôme, caractérisation en termes de divisibilité.
Le nombre de racines d’un polynôme non nul est majoré Détermination d’un polynôme par la fonction polyno-
par son degré. miale associée.
Multiplicité d’une racine. SiP(λ)6= 0, λest racine de P de multiplicité 0.
Polynôme scindé. Relations entre coefficients et racines. Aucune connaissance spécifique sur le calcul des fonc- tions symétriques des racines n’est exigible.
d) Dérivation
Dérivée formelle d’un polynôme. PourK=R, lien avec la dérivée de la fonction polyno- miale associée.
Opérations sur les polynômes dérivés : combinaison li- néaire, produit. Formule de Leibniz.
Formule de Taylor polynomiale.
Caractérisation de la multiplicité d’une racine par les polynômes dérivés successifs.
Arithmétique dans l’ensemble des entiers relatifs
L’objectif de ce chapitre est d’étudier les propriétés de la divisibilité des entiers et des congruences.
a) Divisibilité et division euclidienne
Divisibilité dansZ, diviseurs, multiples. Caractérisation des couples d’entiers associés.
Théorème de la division euclidienne.
b) PGCD et algorithme d’Euclide
PGCD de deux entiers naturels dont l’un au moins est Le PGCD deaetbest défini comme étant le plus grand
non nul. élément (pour l’ordre naturel dansN) de l’ensemble des
diviseurs communs àaet b.
Notationa∧b.
Algorithme d’Euclide. L’ensemble des diviseurs communs à a et b est égal à
l’ensemble des diviseurs dea∧b.
a∧best le plus grand élément (au sens de la divisibilité) de l’ensemble des diviseurs communs àaetb.
Extension au cas de deux entiers relatifs.
Relation de Bézout. L’algorithme d’Euclide fournit une relation de Bézout.
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l’Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
1 Rémy Nicolai S14
Programme colle math Semaine 14 du 13/01/20 au 18/01/20 MPSI B Hoche
I : algorithme d’Euclide étendu.
L’étude des idéaux deZest hors programme.
PPCM. Notationa∨b.
Lien avec le PGCD.
c) Entiers premiers entre eux
Couple d’entiers premiers entre eux.
Théorème de Bézout. Forme irréductible d’un rationnel.
Lemme de Gauss.
PGCD d’un nombre fini d’entiers, relation de Bézout.
Entiers premiers entre eux dans leur ensemble, premiers entre eux deux à deux.
d) Nombres premiers
Nombre premier. I : crible d’Eratosthène.
L’ensemble des nombres premiers est infini.
Existence et unicité de la décomposition d’un entier na- turel non nul en produit de nombres premiers.
Pourppremier, valuationp-adique. Notationvp(n).
Caractérisation de la divisibilité en termes de valuations p-adiques.
Expressions du PGCD et du PPCM à l’aide des valua- tionsp-adiques.
e) Congruences
Relation de congruence modulo un entier surZ. Notationa≡b [n].
Opérations sur les congruences : somme, produit. Les anneauxZ/nZsont hors programme.
Petit théorème de Fermat.
Questions de cours Polynômes:
Pratique de la division euclidienne. Racine et divisibilité. Polynôme scindé : relation entre coefficients et racines.
Formule de Taylor. Caractérisations de la multiplicité.
Arithmétique dans Z:
Une question de cours orientée informatique : algorithme de calcul du ppcm preuve avec invariant et fonction de terminaison.
Algorithme de calcul du pgcd, application àD(a)∩ D(b) =D(a∧b).
Algorithme d’Euclide étendu (avec sa disposition pratique pour calculs à la main) et relation de Bezout.
Théorème de Gauss.
Étude de l’équation de Bezout.
Pas de question de cours sur l’existence et l’unicité de la décomposition en facteurs premiers. Les étudiants peuvent utiliser l’expression du pgcd et du ppcm à l’aide des valuationsp-adiques.
Prochain programme
arithmétique polynomiale, fractions rationnelles, décomposition en éléments simples
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
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2 Rémy Nicolai S14
