Chapitre n°1 : Divisibilité et division euclidienne dans Z
Objectifs
Niveau a eca n
C1.a 1 Savoir résoudre ax+b divisible par cx+d
C1.b 1 Savoir effectuer une division euclidienne dans Z
C1.c 1 Manipuler correctement les congruences
Activité d'approche n°1 : triangle rectangle
1. Un triangle rectangle a des côtés de longueurs entières. L’un des côtés de l’angle droit a pour longueur 6. On aimerait déterminer les longueurs des autres côtés.
a. En notant x et y les longueurs cherchées (avec x > y), justifier que l’on doit avoir (x – y)(x + y) = 36.
...
...
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...
b. Quels sont les couples d’entiers naturels (a ; b) vérifiant : ab = 36 ?
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c. En déduire les longueurs cherchées.
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...
2. Ayant à traiter un grand nombre de tels triangles, on cherche à systématiser la recherche des couples (a ; b) tels que ab = n où n est un entier naturel non nul.
a. La fonction DIV renvoie le quotient de la division euclidienne de a par b.
Soit n et j deux entiers naturels, traduire « j est un diviseur de n » avec la fonction DIV.
...
...
...
...
...
b.
Les instructions de l'algorithme permettant d'avoir la liste des diviseurs ont été mélangées. Les remettre dans l'ordre.
1) DEBUTPROG
2) SI …... ALORS
3) Afficher (j, CRLF) ;
4) FINP
5) POUR j <- 1 JUSQU'A n FAIRE
6) Afficher(« Nombre ? ») ;
7) FINSI
8) VARIABLES 9) n : entier ; 10) j : entier ;
11) PROGRAMME Diviseurs ; 12) Saisir(n) ;
13) FINPROG
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
c. Compléter les pointillés du test « SI » avec un test qui permet de savoir si j divise n.
...
...
...
...
d. Utiliser un logiciel sur tablette ou un programme sur calculatrice pour tester cet algorithme.
e. Quels seront les affichages obtenus lorsqu’on entre n = 36 ? n = 38 ?
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
f. Soit a et b deux entiers naturels tels que ab = n avec a < b. montrer que l’on a a
√
nb :...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
g. Optimiser l'algorithme en tenant compte de f. Indiquer la modification à faire ci-dessous :
...
...
Cours n°1
Chapitre n°1 : Divisibilité et division euclidienne dans Z
I) Divisibilité dans Z .
Définition n°1
L'entier relatif a divise un entier relatif b s'il existe un entier relatif k tel que
…...
On dit aussi que b est un …...
On dit aussi que a est un …...
On note cette relation : a | b .
On note souvent l'ensemble des diviseurs de b par D(b).
Exemple n°1
Donner tous les diviseurs de 12 dans Z :
...
...
...
...
...
...
...
...……….
Donc D(12)={ ...
Exemple n°2 :
Quel est l'ensemble des diviseurs de 0 ?
...
Donner les diviseurs de 1 :
…...
Donner les diviseurs de –1 :
…...
Soit b un entier relatif. Que contient au moins D(b) ? :...
Que peut-on dire de D(b) et D(–b) ?...…..
Propriété n°1 :
Soient a, b et c trois entiers relatifs.
1. Si a divise b et b divise c, alors …...
2. Si a divise b et a divise c, alors quelques soient les entiers relatifs u et v choisis, a
divise …...
3. Si a divise b et que b ≠ 0, alors |a|.... Démonstration :
1.
...
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...
...
...
...
...
...
...
...………..
2.
...
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...
...
...
...
...
...………...
3.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...………..
Exemple n°2 :
Le produit de deux entiers naturels consécutif est-il divisible par 2 ? Justifier.
...
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...
...
...
...
...
...
...…
Exemple n°3 :
« Soient a, b et c trois entiers relatifs. Supposons que a divise b et que b divise c. Alors
a2 divise bc. ». Est-ce vrai ? Justifier.
...
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Exemple n°4 :
Déterminer les entiers x tels que 2 + x | 4
...
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...
Exemple n°5 :
Déterminer les entiers x tels que 2x | 4 .
...
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...
Exemple n°6 :
Déterminer les entiers x tels que 2x + 8 | x – 2
...
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...
...
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...
...
...
...
...…
Attention ! : on a raisonné uniquement par i...
il faut donc v... :
...
...
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Se tester – Test n°1 Ex1 (/2)
Donner tous les diviseurs de a=/t{20;21;22;24;25;26;27;28} dans Z :
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...Donc
D(a)={ ...
...… } Ex2 (/3)
Déterminer les entiers x tels que µ + x | /t{4;6;9;10;14;15;21;22}
...
...
...
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...
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...
...
...
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...
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...
...
...
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...
...
Ex3 (/4)
Déterminer les entiers x tels que ¤x | /calc{2*µ} .
...
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...
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...
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Ex4 (/5)
Déterminer les entiers x tels que ¤x + µ | x – µ
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Interrogation n°1 Objectifs :
C1.a_Niv1 :Savoir résoudre ax+b|cx+d
Remarques importantes :
Pour le cours suivant, la quantité de travail minimum permettant d’assimiler le cours est de 4 exercices de base.
Un exercice avec une étoile correspond à 2 exercices de base, un exercice avec 2 étoiles correspond à 3 exercices de base, etc.
En cas d’impossibilité, un mot signé et daté est nécessaire.
Exercice n°1 Ex.8 p.26 Exercice n°2 Ex.10 p.26 Exercice n°3 Ex.50 p.28 Exercice n°4 Ex.51 p.28 Exercice n°5 Ex.56 p.28
Activité d'approche n°2 : code barre EAN 13
Les codes-barres, apposés sur de nombreux articles dans le commerce, servent à déterminer numériquement l'identité d'un produit (et donc son prix) : à
chaque code barre est associé un produit et réciproquement. Ce code barre est lu par laser au passage en caisse, ce qui évite d'avoir à saisir le nom du produit et son prix (c'était ce que l'on faisait auparavant!).
Comme la lecture par laser peut être défectueuse (lecture à l'envers, etc.), le code barre contient un système d'auto-contrôle : une « clef ». Il s’agit d'un nombre qui apparaît à la fin du code-barre, et qui doit correspondre à une combinaison calculée des chiffres précédents du code.
Le code EAN 13 est composé de 13 chiffres. Étudions sur un exemple pour voir comment cela fonctionne :
Le laser lit le code 9782278069484. La « clef » vaut donc « 4 » et doit
correspondre à la combinaison des chiffres précédents, combinaison calculée de la façon suivante :
Étape 1 : On calcule la somme S1 des chiffres de rang impair en partant de la gauche,
Étape 2 : S2 la somme des chiffres de rang pair.
Étape 3 : On calcule ensuite S définie par : S = S1 + 3S2
Étape 4 : r est le reste de la division de S par 10.
Étape 5 : La clé de contrôle est 10 – r , si r ≠ 0, sinon la clé est égale à 0. a. Vérifier que la clé contrôle de l’exemple est correcte. Indiquer ci-dessous vos calculs :
...
...
...
...
...
...
...
...
b. Vérifier que la clé de contrôle du code de votre livre est correcte. Indiquer ci- dessous vos calculs :
...
...
...
...
...
...
...
...
c. À quoi correspond, pour un entier, le reste de la division euclidienne de cet entier par 10 (faites des essais si nécessaire) ?
...
...
d. En justifiant chaque réponse par un calcul, répondre : est-il possible que la clé de contrôle d’un code EAN soit bonne sachant que :
· Le premier et le troisième chiffre du code sont inversés ?
...
...
...
...
...
...
...
...
...
· L’un des douze premiers chiffres du code (un seulement) vaut un de plus que ce qu'il faut ?
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
· Deux des douze premiers chiffres du code sont faux valent un de plus que ce qu'il faut ?
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
· Deux chiffres consécutifs sont inversés ?
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
e. Peut-on retrouver un chiffre effacé ? Prendre : 3252x37041767, x est le chiffre effacé.
...
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...
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Cours n°2 II) Division euclidienne dans N .
On admettra comme axiome (c'est à dire comme propriété admise et non démontrable, mais allant de soi) :
Toute partie non vide de l'ensemble des entiers naturels N admet un plus
…...t élément.
Propriété n°2
Soient deux nombres entiers naturels a et b, b étant différent de 0. Alors il existe un couple unique de deux entiers naturels q et r, r<b, vérifiant la relation :
a = …...
Démonstration : Existence :
→ Supposons que a = 0. Alors le couple …... convient.
→ Supposons maintenant que a ≠ 0.
Soit A l'ensemble des multiplicateurs n de b tels que nb soit plus grand que a. (autrement écrit : A={n ∈N, nb>a})
* A n'est pas vide : …...
…...
* Donc, d'après l'axiome, A admet …...
* Soit n ce plus petit élément. On a …....>.... puisque n appartient à A.
On a aussi a... puisque n est le plus petit élément de A.
* Posons q=n-1 . On a alors : …... ...<...
* Posons r = …...
Alors l'existence est vérifiée, et on a bien r...
Unicité :
Supposons qu'il existe quatre entiers naturels q,q',r et r' tels que a = bq + r et que a
= bq' + r'.
Alors 0=...
Donc r –r'=... (1)
Or, r<... et …..., donc …... < r – r' <..., donc …... < b...<...
Donc …... q – q' …...
Or q et q' sont des entiers naturels, donc …...
Donc … = … et d'après (1) … = … Remarque :
Sans la condition 0<r<b, on n'aurait pas l'unicité. En effet, par exemple :
47=9×5+2 mais on a aussi : 47=9×4+.…
(b = … et r = ….) (b = … et r = ….) Exemple n°7
Voici une égalité : 19 = 5 × 3 + 4. Traduit-elle la division de 19 par 5 ?
…...
Traduit-elle la division de 19 par 3 ?
…...
Exemple n°8
Soit a=n(n+4)(n–4) où n est un entier naturel supérieur ou égal à 4. Montrer qu'alors a
est un multiple de 3.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
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...
...
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...
...
...
...
III) Division euclidienne dans Z
Propriété n°3
Soient deux nombres entiers relatifs a et b, b étant différent de 0. Alors il existe un couple unique de deux entiers naturels q et r, 0< r< |b| , vérifiant la relation :
a = bq + r.
Démonstration :
On généralise la démonstration précédente avec
|
a|
. Exemple n°9Déterminer q et r dans les cas suivants :
a = 37 et b = 11 :
...a = 37
et b = –11 :
...a = – 37 et b = 11 :
...a = – 37 et b = –11 :
... Attenti on : il faut vérifier à chaque fois que r est …... et …...
Se tester – Test n°2 Ex1
Déterminer le quotient q et le reste r de la division euclidienne de a par b dans les cas suivants :
a = µµ et b = 1µ :
...
...
...
...…
a = µµ et b = –1µ :
...
...
...
...…
a = – µµ et b = 1µ :
...
...
...
...…
a = – µµ et b = –1µ :
...
...
...
...…
Interrogation n°2 Objectifs :
C1.b_Niv1 :Savoir effectuer une division euclidienne dans Z Exercice n°6
Ex.69 p.29 Exercice n°7 Ex.74 p.29
Exercice n°8**
Démontrer que si n2 est pair, n est pair.
Exercice n°9*
Le numéro INSEE ou numéro de sécurité social est constitué de 13 chiffres : 1er chiffre : le sexe : « 1 » pour homme, « 2 » pour femme.
2ème et 3ème chiffres : les deux derniers chiffres de l'année de naissance.
4ème et 5ème chiffres : mois de naissance.
6ème et 7ème chiffres : département de naissance.
8ème, 9ème et 10ème chiffres : commune de naissance.
11ème, 12ème et 13ème chiffres : numéro d'inscription sur le registre des naissances.
14ème et 15ème chiffres : clé de contrôle.
La clef de contrôle (de deux chiffres) est calculée comme suit : effectuer la
soustraction 97 – r où r est le reste de la division euclidienne des 13 premiers chiffres par 97. Si ce nombre est inférieur à 10, on met un zéro devant.
1. Quelle est la clef de contrôle de 2 85 05 33 565 001 ? 2. Le nombre 1 63 08 77 689 027 19 contient-il une erreur ?
Cours n°3 IV) Congruences
Définition n°2
Soient a et b deux entiers relatifs et n un entier naturel supérieur ou égal à 2.
L'entier a est congru à b modulo n si a et b ont le même reste par la division euclidienne par n.
On note alors a b (n) ou a b [n] ou a b mod n.
Exemple n°10 :
86=7×12+2 et 23=7×3+2 donc …... ... … mod ...
Propriété n°4
Soient a et b deux entiers relatifs et n un entier naturel supérieur ou égal à 2.
« a …... » est équivalent à « a – b est ….... » Démonstration :
Si a b (n), alors :
…...
...
...
...
...
...……….
Si a – b est …..., alors :
...
...
...
...
...
...
...
...
...………..
Remarques :
→ a 0 (n) signifie que …...
→ a=nq+r a pour conséquence que a .… mod … Exemple n°11
86 – 23 = 63 = 9 × 7 donc 86 23 […]
2 –(-19) = 21 donc 2 … …. [….]
Propriété n°5
a, b, a',b' et c sont des entiers relatifs.
p est un entiers naturel supérieur à 0.
n est un entiers naturel supérieur à 1.
1. Si a b [n] alors ac ….. [n].
2. Si a b [n] et b c [n] alors … … [n].
3. Si a b [n] et a' b' [n] alors a + a' …... [n].
4. Si a b [n] et a' b' [n] alors a – a' …... [n].
5. Si a b [n] et a' b' [n] alors a a' …... [n]
6. Si a b [n] alors a... b... [n]
Remarque :
Attention, la division ne fonctionne pas : 16 ≡ 20 [4] mais 8≢ 10 [4].
Exemple n°12
Démontrer que 671800 –1 est divisible par 6.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...…
Exemple n°13
Déterminer les entiers x tels que 2 + x 4 [6]
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...…
Exemple n°14
Déterminer les entiers x tels que 2 + 3x x + 4 [6]
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...…
Se tester Test n°3 Ex1 (/1)
Donner deux nombres congrus à µ modulo ¤, supérieures à 100.
...
...
Ex2 (/2,5)
/calc{µµ*6+/t{1;5}} µµ0 –1 est-il divisible par 6 ? Justifier à l’aide des congruences.
......
...
...
...
...
...
...
...
Ex3 (/2)
Déterminer les entiers x tels que µ + x µ [/t{6;7;8}]
......
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Ex4 (/2,5)
Déterminer les entiers x tels que /t{2;4} + /t{5;6}x /t{2;3}x + /t{6;8} [/t{6;7;8}]
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...………...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...…….
Interrogation n°3 Objectifs :
C1.c_Niv1 :Manipuler correctement les congruences Exercice n°10
Ex.106 p.31 Exercice n°11*
Ex.107 p.31 Exercice n°12*
Ex.114 p.31 Exercice n°13*
Ex.120 p.31 Exercice n°14**
Ex.121 p.31
Exercice n°15***
Correctif : il faut lire « on se propose de déterminer les couples (n ; m) d’entiers… » et non (m ; n).
Sujet A p.37
Résultats et indices
Remarques importantes :
Ces résultats permettent :
- de savoir si vous avez juste ou faux. En cas d’erreur, refaites la question. En cas de troisième tentative infructueuse, appelez le professeur.
- de montrer que ce sont les raisonnements qui importent, pas les solutions ci- dessous. Si vous vous êtes contenté de la même rédaction succincte, c’est que vous n’avez pas fait le travail de réflexion nécessaire pour assimiler les notions.
- Parfois, vous n’avez pas les mêmes résultats que votre voisin : c’est NORMAL : les documents sont « aléatoirisés » . En revanche, les
résultats ci-dessous sont bien justes et en rapport avec vos énoncés. Si vous voulez vous entraider, c’est toujours possible, mais il vous faudra Test1 : Ex1 : Diviseurs :1 et -1,/si{/div{#1;2;r}=0;2 et -2,; } /si{/div{#1;3;r}=0;3 et -3,; } /si{/div{#1;4;r}=0;4 et -4,; }/si{/div{#1;5;r}=0;5 et -5,; }/si{/div{#1;6;r}=0;6 et
-6,; }/si{/div{#1;7;r}=0;7 et -7,; }/si{/div{#1;8;r}=0;8 et -8,; }/si{/div{#1;9;r}=0;9 et
-9,; }/si{/div{#1;10;r}=0;10 et -10,; }/si{/div{#1;11;r}=0;11 et -11,; }/si{/div{#1;12;r}=0;12 et -12,; }/si{/div{#1;13;r}=0;13 et -13,; }/si{/div{#1;14;r}=0;14 et -14,; } , -#1 et #1.
Ex2 : /si{#3=4;/calc{-4-#2}, /calc{-2-#2}, /calc{-1-#2}, /calc{1-#2}, /calc{2-#2} et /calc{4-
#2} ;/si{#3=6;/calc{-6-#2}, /calc{-3-#2}, /calc{-2-#2}, /calc{-1-#2}, /calc{1-#2}, /calc{2-
#2/calc{3-#2},} et /calc{6-#2} ;/si{#3=9;/calc{-9-#2}, /calc{-3-#2}, /calc{-1-#2}, /calc{1-
#2}, /calc{3-#2} et /calc{9-#2} ;/si{#3=10; /calc{-10-#2}, /calc{-5-#2}, /calc{-2-#2}, /calc{-1-#2}, /calc{1-#2}, /calc{2-#2/calc{5-#2},} et /calc{10-#2} ;/si{#3=14;/calc{-14-
#2}, /calc{-7-#2}, /calc{-3-#2}, /calc{-1-#2}, /calc{1-#2}, /calc{3-#2/calc{7-#2},} et /calc{14-#2} ;/si{#3=15 ;/calc{-15-#2}, /calc{-5-#2}, /calc{-3-#2}, /calc{-1-#2}, /calc{1-
#2}, /calc{3-#2/calc{5-#2},} et /calc{15-#2} ;/si{#3=21;/calc{-21-#2}, /calc{-7-#2}, /calc{- 3-#2}, /calc{-1-#2}, /calc{1-#2}, /calc{3-#2/calc{7-#2},} et /calc{21-#2} ;/si{#3=22;/calc{- 22-#2}, /calc{-11-#2}, /calc{-2-#2}, /calc{-1-#2}, /calc{1-#2}, /calc{2-#2/calc{11-#2},} et /calc{22-#2}}}}}}}}} Ex3 : /si{#5=1;/si{#4=1;-2,-1,1 et 2;/si{#4=2;-1 et 1;Pas de
solution}};/si{#5=2;/si{#4=1;-4,-2,-1,1,2 et 4;/si{#4=2;-2,-1,1 et 2;/si{#4=3;Pas de solution;/si{#4=4;1 et -1;Pas de solution}}}};/si{#5=3;/si{#4=1;-6,-3,-2,-1,1,2,3, et
6;/si{#4=2 ;-3,-1,1 et 3;/si{#4=3;-2,-1,1 et 2;/si{#4=4|#4=5;Pas de solution;/si{#4=6;-1 et 1;Pas de solution}}}}};/si{#5=4;/si{#4=1;-8,-4,-2,-1,1,2,4 et 8;/si{#4=2;-4,-2,-1,1,2 et 4;/si{#4=3;Pas de solution; /si{#4=4;-2,-1,1 et 2;/si{#4=5|#4=6|#4=7;Pas de
solution;/si{#4=8;-1 et 1;Pas de solution} }}}}};/si{#5=5;/si{#4=1;-10,-5,-2,-1,1,2,5 et 10;/si{#4=2;-5,-1,1 et 5;/si{#4=3|#4=4;Pas de solution;/si{#4=5;-2,-1,1 et 2;Pas de
solution}}}}; /si{#5=6;/si{#4=1;-12,-6,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,6 et 12;/si{#4=2;-6,-3,-2,-1,1,2,3 et 6;/si{#4=3;-4,-2,-1,1,2 et 4;/si{#4=4;-3,-1,1 et 3;/si{#4=5;Pas de solution;/si{#4=6;-2,-1,1 et 2;Pas de solutions}}}}}};/si{#5=7;/si{#4=1;-14,-7,-2,-1,1,2,7 et 14;/si{#4=2;-7,-1,1 et 7;/si{#4=3|#4=4|#4=5|#4=6;Pas de solution;/si{#4=7;-2,-1,1 et 2;Pas de
solution}}}};/si{#5=8;/si{#4=1;-16,-8,-4,-2,-1,1,2,4,8 et 16;/si{#4=2;-8,-4,-2,-1,1,2,4 et 8;/si{#4=3;Pas de solution; /si{#4=4;-4,-2,-1,1,2 et 4;si{#4=5|#4=6|#4=7;Pas de
solution;/si{#4=8;-2,-1,1 et 2;Pas de solution}}}}}};/si{#4=1;-18,-9,-6,-3,-2,-1,1,2,3,6,9 et 18;/si{#4=2;-9,-3,-1,1,3 et 9;/si{#4=3;-6,-3,-2,-1,1,2,3 et 6;/si{#4=4|#4=5;Pas de
solution;/si{#4=6;-3,-1,1 et 3;/si{#4=7|#4=8;Pas de solution;-2,-1,1 et 2}}}}}}}}}}}}}}
Ex4 : Indications : #6x+#7 divise /calc{#6*#8+#7} puis suivre la méthode de l’ex2 . Ex.1 (Ex8 p.26) : Oui.
Ex.2 (Ex10 p.26) : Non.
Ex.3 (Ex50 p.28) : -3 et -2
Ex.4 (Ex51 p.28) : -7 et -1
Ex.5 (Ex56 p.28) : 1. développer... 2. idem…
Test2: Ex1 : q = /div{/calc{#9*10+#10};/calc{10+#11};q} et r = /div{/calc{#9*10+#10};/calc{10+#11};r}. ; q =
-/div{/calc{#12*10+#13};/calc{10+#14};q} et r =
/div{/calc{#12*10+#13};/calc{10+#14};r}. ; q =
-/calc{/div{/calc{#15*10+#16};/calc{10+#17};q}+1} et r =/calc{10+#17- /div{/calc{#15*10+#16};/calc{10+#17};r}}. ; q =
/calc{/div{/calc{#18*10+#19};/calc{10+#20};q}+1} et r =/calc{10+#20- /div{/calc{#18*10+#19};/calc{10+#20};r}}.
Ex.6 (Ex69 p.29) : b=646 et q=2, ou b=1292 et q=1.
Ex.7 (Ex74 p.29) : n-3 pour n3. Pour n=0 : 1 ; pour n=1 : 1 ; pour n=2 : 3. Ex.8 : Contraposée…
Ex.9 : 1.91 2. Oui.
Test3 : Ex1 /calc{#22*100+#21} et /calc{#22*101+#21} Ex2 Oui. Ex3 x =
#28k+/div{/calc{#30-#29};#28;r} , k Z. Ex4 /si{/div{/calc{/div{0;#35;r}*(#32-
#33)};#35;r}=/div{/calc{#34-#31};#35;r};0;/si{/div{/calc{/div{1;#35;r}*(#32-
#33)};#35;r}=/div{/calc{#34-#31};#35;r};1;/si{/div{/calc{/div{2;#35;r}*(#32-
#33)};#35;r}=/div{/calc{#34-#31};#35;r};2;/si{/div{/calc{/div{3;#35;r}*(#32-
#33)};#35;r}=/div{/calc{#34-#31};#35;r};3;/si{/div{/calc{/div{4;#35;r}*(#32-
#33)};#35;r}=/div{/calc{#34-#31};#35;r};4;/si{/div{/calc{/div{5;#35;r}*(#32-
#33)};#35;r}=/div{/calc{#34-#31};#35;r};5;/si{/div{/calc{/div{6;#35;r}*(#32-
#33)};#35;r}=/div{/calc{#34-#31};#35;r};6;/si{/div{/calc{/div{7;#35;r}*(#32-
#33)};#35;r}=/div{/calc{#34-#31};#35;r};7;/si{/div{/calc{/div{8;#35;r}*(#32-
#33)};#35;r}=/div{/calc{#34-#31};#35;r};8;/si{/div{/calc{/div{9;#35;r}*(#32-
#33)};#35;r}=/div{/calc{#34-#31};#35;r};9;Pas de solution}}}}}}}}}}
Ex.10 (Ex106 p.31) : 1. 5k – 1, k ∈ Z 2. 104
Ex.11 (Ex107 p.31) : 1. 5k + 4, k ∈ Z 2. idem.
Ex.12 (Ex114 p.31) : 3n ≡ 1 si n est pair, 3n ≡ 3 sinon.
Ex.13 (Ex120 p.31) : Disjonction des cas (tableau)…
Ex.14 (Ex121 p.31) : 72n=(72)n…
Ex.15 (Sujet A p.37) : 1. (1;1) et (2;4) 2.a.Si m>4, alors 2m ≡ … (32). 2.b. Tableau de 7n
en fonction du reste de la division de n par 4. 2.c. Conséquence de 2.b. et de 74 ≡ … (5). 2.d. Non (par l'absurde). 3. (1;1) et (2;4) .
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…...
* Je veux repasser les interrogations : C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__
* Je prévois le travail personnel (4 travaux min., sf exception ou mot daté et signé) pour la prochaine fois : Exercices n° : … / … / … / … / … / … /…
Question n° : … / … / … / … / … de l’Activité n° … Exemples n° : … / … / … / … / … du Cours n° : ...
Se tester, Ex. n° : … / … / … / … / … du Cours n° …
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