Contrôle : divisibilité, division euclidienne

TS-spe Contrôle : divisibilité, division euclidienne

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Contrôle : divisibilité, division euclidienne

E 1

1. Démontrer qu'il n'existe pas d'entier relatif a et b tels que 26a−54b=2013.

E 2

1. Déterminer l'ensemble des entiers relatifs tels que 2n+5 divise 3n+4.

E 3

1. n∈N, effectuer la division euclidienne de 3n+8 par n+1.

E 4

1. Dans la division euclidienne de 1512 par un entier naturel non nul b, le quo- tient est 17 et le reste r.

Déterminer les valeurs possibles pour b et r.

E 5

1. On considère un entier naturel p non nul.

(a) Démontrer par récurrence que 6 divise 10^p−4.

(b) En déduire que le reste de la division euclidienne de 10^p par 6 est 4.

2. Un entier naturel x s'écrit a_na_n−1. . .a₁a₀ dans la numération décimale.

Démontrer que 6 divise x si, et seulement si, 6 divise 4 (a_n+a_n−1+. . .+a₁)+ a₀.

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Correction

E 1

26 et 54 sont divisibles par 2 donc pour tous entiers relatifs a et b 26a−54b est divisible par 2, or 2013 est impair donc il n'existe pas d'entiers relatifs tels que 26a−54b=2013.

E 2

□□

□ Si 2n+5divise _3n+4alors_2n+5divise la combinaison linéaire 3 (2n+5)−

2 (3n+4)=7.

On a donc 2n+5∈{−7 ;−1 ; 1 ; 7} c'est à dire n∈{−6 ;−3 ;−2 ; 1}.

□

□

□ Réciproquement :

□□□ Si n= −6, −7 divise 3×(−6)+4= −14 ;

□□□ si n= −3, ₋1 divise 3×(−3)+4= −5;

□□□ si n= −2, 1 divise 3×(−2)+4= −2;

□□□ si n=1, 7 divise 3×1+4=7.

Conclusion : 2n+5 divise 3n+4 si, et seulement si, n∈{−6 ;−3 ;−2 ; 1}.

E 3

3n+8=3 (n+1)+5. 5 est le reste de la division euclidienne de 3n+8 par n+1 lorsque 5<n+1, c'est à dire lorsque 5⩽ⁿ.

Lorsque n⩽⁴ on a :

□□

□ n=0, a=8, b=1, r=0;

□

□

□ n=1, a=11, b=2, r=1;

□

□

□ n=2, a=14, b=3, r=2;

□□

□ n=3, a=17, b=4, r=1;

□

□

□ n=4, a=20, b=5, r=0.

E 4

1512=17b+r et0⩽^r<b ⇐⇒ r=1512−17bet0⩽¹⁵¹²−17b<b

⇐⇒ r=1512−17bet0⩽¹⁵¹²−17b<b

⇐⇒ r=1512−17bet ¹⁵¹²

18 <b⩽¹⁵¹² 17

⇐⇒ (r;b)∈{(85 ; 67) ; (86 ; 50) ; (87 ; 33) ; (88 ; 16)}

car ¹⁵¹²

17 ≈88, 94 et ¹⁵¹² 18 =84.

E 5

1. (a) Soit P_p la propriété : 6|10^p−4.

□□

□ Initialisation: Pour p=1, 10¹−4=6 donc P1 est vraie.

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□□

□ Hérédité: Montrons que pour tout p∈N^∗, Pp⇒Pp+1. 6|10^p−4 =⇒ ∃k∈Z^{, 10p}−4=6k

=⇒ ∃k∈Z^{, 10p+1}−40=60k

=⇒ ∃k∈Z^{, 10p+1}−4=36+60k

=⇒ ∃k∈Z^{, 10p+1}−4=6 (6+10k)

=⇒ 6|10^p+1−4 On a montré que P_p implique P_p+1.

□

□

□ Conclusion: Pour tout p∈N^∗, 6|10^p−4.

(b) Pour tout p∈N^∗, 6|10^p−4 donc il existe q_p∈Z tel que 10^p=6q_p+4. Le reste de la division euclidienne de 10^p par 6 est donc 4.

2. Il existe ⁽q₁, . . . ,q_n)

∈Zⁿ tel que

x=anan−1. . .a1a0 = an10ⁿ+an−110ⁿ⁻¹+. . .+a110+a0

= a_n(

6q_n+4)

+. . .+a₁(

6q₁+4) +a₀

= 6(

a_nq_n+. . .+a₁q₁)

+4 (a_n+. . .+a₁)+a₀

=⇒) Si 6|x alors6|x−6(

a_nq_n+. . .+a₁q₁)

c'est à dire6|4 (a_n+. . .+a₁)+a₀.

⇐=) Si 6|4 (a_n+. . .+a₁)+a₀ alors 6|6(

a_nq_n+. . .+a₁q₁)

+4 (a_n+. . .+a₁)+

a₀ car 6|6(

a_nq_n+. . .+a₁q₁)

donc 6|x.

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