D347. Voyage dans l'espace
On considère 2015 points distincts choisis au hasard dans l’espace et libellés Pi pour i variant de 1 à 2015 puis un point A0 distinct de ces points. En partant de A0, Zig le téméraire se rend au point A1 symétrique de A0 par rapport à P1 et poursuit le périple avec le trajet A1 A2 A3 ....Ai Ai+1 tel que le point Ai+1 est le symétrique de Ai par rapport au point Pi+1 .Une fois qu’il est arrivé au point A2015 symétrique du point A2014 par rapport au point P2015 ,il constate que ce point est distinct de A0. C’est pourquoi,il décide de continuer son voyage selon les mêmes conditions que précédemment en allant au point A2016 symétrique du point A2015 par rapport au point P1 etc... . A-t-il bon espoir de retourner à son point de départ A0 à l’issue d’un ou plusieurs périples
complets? Si oui, déterminez le nombre total de périples complets qu’il a effectués.Si non, justifiez votre réponse.
De son côté Puce le sage partant toujours du même point A0 décide prudemment d’effectuer un parcours dans les mêmes conditions que Zig mais avec seulement les 6 premiers points P1 à P6 .A- t-il bon espoir de retourner au point de départ A0 ? Si oui, à quelles conditions? Si non, justifiez votre réponse.
Pour Zig :
En parcourant 2 fois les 2015 points, il retourne sur le point de départ.
Notation : Ax est la coordonnée x du point A
A 'x est la coordonnée x du symétrique du point A par rapport à P Px est la coordonnée x du point P
On peut donc écrire :
Ax+A 'x
2 = Px ⇒ A 'x=2⋅Px−Ax
Les trois coordonnées des points Ai vérifient : A1=2P1−A0
A2=2P2−A1=2P2−2P1+A0 A3=2P3−2P2+2P1−A0 etc ..
A2015=2P2015−2P2014+...+2P1−A0
Si A2015≠A0
il refait un tour et arrivera sur le point
A4030=2P2015−2P2014+...+2P1 - (2P2015−2P2014+...−A0) = A0
Pour Puce :
A6=2P6−2P5+...−2P1+A0
Soit 2P6−2P5+...−2P1=0 et A6=A0 (retourne sur le point de départ)
Soit 2P6−2P5+...−2P1 ≠ 0 et il ne retournera jamais sur A0
car pour le nème parcours : An⋅6 = n⋅(2P6−2P5+...−2P1)+A0 ≠ A0
