Voyage dans l'espace
Problème D347 de Diophante
On considère 2015 points distincts choisis au hasard dans l’espace et libellés Pi
pour i variant de 1 à 2015 puis un point A0 distinct de ces points. En partant de A0, Zig le téméraire se rend au point A1 symétrique de A0 par rapport à P1 et poursuit le périple avec le trajet A1 A2 A3 … Ai Ai+1 tel que le point Ai+1 est le symétrique de Ai par rapport au point Pi+1. Une fois qu’il est arrivé au point A A2015 symétrique du point A2014 par rapport au point P2015, il constate que ce point est distinct de A0. C'est pourquoi, il décide de continuer son voyage selon les mêmes conditions que précédemment en allant au point A2016 symétrique du point A2015 par rapport au point P1 etc... . A-t-il bon espoir de retourner à son point de départ A0 à l’issue d’un ou plusieurs périples complets ? Si oui, déterminez le nombre total de périples
complets qu’il a effectués. Si non, justifiez votre réponse.
De son côté Puce le sage partant toujours du même point A0 décide
prudemment d’effectuer un parcours dans les mêmes conditions que Zig mais avec seulement les 6 premiers points P1 à P6. A-t-il bon espoir de retourner au point de départ A0 ? Si oui, à quelles conditions? Si non, justifiez votre réponse.
Solution
En général, exprimons que M est le milieu de UV par la formule U + V = 2M . Ainsi A0000 + A0001 = 2P0001 1
A0001 + A0002 = 2P0002 -1 A0002 + A0003 = 2P0003 1
....etc....
A4028 + A4029 = 2P2014 1 A4029 + A4030 = 2P2015 -1
Multiplions alternativement ces équations par 1 et -1 et sommons de part et d'autre du signe = . Il vient A0000 - A4030 = 0
Ainsi au deuxième tour Zig revient à son point de départ.
De son côté, Puce constate que A6 = 2*(P6 – P5 + P4 – P3 + P2 – P1) – A0
Tous les six coups chaque Ai est translaté de ±U (selon la parité de i), où U est le vecteur 2*(P6 – P5 + P4 – P3 + P2 – P1).
Lorsque U est nul, Puce revient à son point de départ, dès le premier tour.
