A629 ‒ La porte étroite
Q₁ Trouver le plus petit entier pair N tel qu'il existe sept entiers strictement positifs distincts dont la somme est strictement plus grande que N et les sommes de trois quelconques d'entre eux sont toutes au plus égales à N/2.
Q₂ Pour les plus courageux : exprimer en fonction de l'entier k > 0, la plus petite valeur de l'entier pair N tel qu'il existe 2k + 1 entiers strictement positifs distincts dont la somme est strictement plus grande que N et les sommes de k quelconques d'entre eux sont toutes au plus égales à N/2.
Application numérique : trouver la plus petite valeur de k telle que 2016 divise N.
Solution par Marie-Christine Piquet
Q1: Afin d'optimiser les chances de trouver un nombre N répondant aux conditions , il convient de considérer une suite S de 7 nombres
successifs (a , b , c , d , e , f , g) . Dans ce premier cas , 2k + 1 = 7 et k = 3 Posons alors e + f + g = k x [ g - (k-1)/2 ] = N/2 ---> N = 2k x [ g - (k-1)/2 ] (1)
Nous devons avoir aussi a + b + c + d + e + f + g = N + m (m > 0 reste un entier à définir).
a + b + c + d + e + f + g = S = N + m . Ainsi: N = ( 2k + 1 ) x ( g - k ) - m = 2kg + g - 2k² - k - 1 (2) (1) = (2) = N --> g = k² + 2k + m
Avec k = 3 : g = 9 + 6 + 1 = 16 (avec m = 1) est solution , car il faut minimiser N.
Donc avec (1) N = 6 x (16 - 1) = 90 ; avec m = 1 --> g = (k+1)²
Et la suite (10 , 11 , 12 , 13 , 14 , 15 , 16) . e + f + g = 45 = N/2 et S = 91 .
Q2: Pour k = 4 (2k + 1 = 9) . Avec (1) on obtient : g = 4² + 8 + 1 = 25 et N = 8 x ( 25 - 1.5) = 188 Suite = (17 , 18 , 19 , 20 , 21 , 22 , 23 , 24 , 25) ; 22+23+24+25 = 94 , S = 189
En reportant g(k) dans (1) , il vient : N = k.(2k² + 3k + 3) (avec m = 1) Pour k = 5 --> N = 340 ; pour k = 6 --> N = 558 ...etc....
Un tableau avec les 7 premiers k
k 1 2 3 4 5 6 7
g =(k + 1)² 4 9 16 25 36 49 64
N=k.(2k²+3k+3) 8 34 90 188 340 558 854
si k = 7 --> suite S : (50 , 51 , 52 , 53 , 54 , 55 , 56 , 57 , 58 , 59 , 60 , 61 , 62 , 63 , 64) dont la somme des 2k+1 = 15 termes vaut 855
et la somme des 7 derniers termes : 427 .
Maintenant 2016 doit diviser N ---> N = 2016 x P = k.(2k² + 3k + 3) ; P est un entier > 0
Avec l'équation : 2k³ + 3k² + 3k - 2016P = 0 , la plus petite valeur de k qui convient est k = 105.
2016 divise N = 2348640 = 105 x 22368 = 2016 x 1165
