Enoncé E684 (Diophante) La porte étroite
Un peintre doit faire passer des panneaux de polystyrène de 3 m × 2,45 m × 1 cm d’épaisseur par une porte de 1,5 m ×2 m. Combien peut-il en faire passer simultanément à chaque voyage ?
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Le schéma ci-contre est grossièrement déformé : il faut imaginer queAD= 245 cm est plus grand que OP etOR, qui sont l’un 150 et l’autre 200 cm (je travaille en centimètres).
Soit l’anglex=OAB=P BC=ECD.
On aOP = sinx+ 245 cosx,P C = 245 sinx,AO= cosx,CE = 1/cosx.
On peut empiler n plaques (la n-ième pouvant aller jusqu’à J KLM) si CJ ≥(n−1).CE. On a J Q=OA,P C = 245 sinx, d’où
n≤1 +CJ/CE = 1 + (OR−cosx−245 sinx) cosx.
On déterminex par
cos(x−arctan(1/245) =OP/√
2452+ 1.
Supposons d’abord OP = 150. on obtient x = 0,91599 radian, puis n ≤ 4,085.
Mais, tournant la figure deπ/2, on peut considérer queOP est la hauteur 200 etORla largeur 150. On obtient avec les mêmes formulesx= 0,61987 radian etn≤6,5828.
On peut donc passer 6 plaques à la fois si on les met aussi verticales que possible (angle avec la verticale 0,61987 dans cette configuration, contre 0,65481 dans la première).
