Enoncé E583 (Diophante) Les extrêmes se rapprochent
Soit E un ensemble de 13 entiers positifs distincts. Pris deux à deux ils sont relativement premiers entre eux. La différence entre le plus grand terme et le plus petit terme prend la plus petite valeur possibled.
Déterminerdet donner un exemple de l’ensembleE.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Un diviseur premier d’un terme ne peut en diviser aucun autre. Les 13 termes feront donc apparaître au moins 13 diviseurs premiers.
Dans un intervalle tel que (a, a+ 31) de 32 entiers consécutifs, au plus 9 sont premiers avec 30 : exactement ϕ(30) = 8 dans les 30 entiers de a+ 2 à a+ 31, au plus 1 parmi a et a+ 1 ; parmi les autres entiers de cet intervalle, au plus un multiple de 2, un multiple de 3 et un multiple de 5 peuvent compléter l’ensemble.
Ainsi un ensemble satisfaisant les conditions de l’énoncé ne peut avoir plus de 12 éléments sid≤31.
Pour 13 termes, la différence entre le plus grand et le plus petit est donc au moins 32. La valeur 32 est obtenue avec les 10 nombres premiers de 11 à 43, complétés par 16, 25 et 27.
E={11,13,16,17,19,23,25,27,29,31,37,41,43}.
