La porte étroite1
Un peintre doit faire passer des panneaux de polystyrène de 3m × 2,45m × 1cm d'épaisseur par une porte de 1,5m × 2m.
Combien peut-il en faire passer simultanément à chaque voyage?
Solution proposée par Patrick Gordon
Le peintre ne saurait faire passer les panneaux avec un des côtés de 3m dans le travers de la porte car cette dimension excède la diagonale de la porte (qui vaut 2,50m). La question ne se pose que pour 2,45m × n cm dans le travers de la porte, n étant le nombre de panneaux superposés.
Considérons d'abord le cas où les panneaux sont superposés de manière à former un
parallélépipède rectangle (par exemple, s'ils sont livrés attachés). La section à faire passer par la porte est alors un rectangle.
Rappelons un résultat classique.
Pour qu'un rectangle de côtés (x, y) soit inscriptible dans un rectangle de côtés (a,b), il faut que :
1) (a²+b²) (x²+y²) – 4abxy ≥ (x²–y²)²
On établit ce résultat en considérant un rectangle de côtés (x, y) inscrit dans un rectangle de côtés (a,b), le premier ayant ses sommets sur les côtés du second.
figure 1
On écrit que :
x sin + y cos =a
x cos + y sin =b
1 en hommage à André Gide
On résout en cos et sin et l'on écrit que cos² + sin²=1
Un tableur nous indique que, pour y = 2,45m, on peut aller jusqu’à x = 0,052 m, soit en chiffres ronds : 5 panneaux.
Mais on peut faire mieux car rien n'interdit de superposer les panneaux en les décalant légèrement les uns par rapport aux autres.
Le problème ci-dessus se pose alors avec l'insertion d'un parallélogramme2 dans un rectangle.
figure 2
En notant l'angle du parallélogramme du côté de a, on écrit cette fois : – x cos (+ + y cos =a
x sin (+ + y sin =b
On résout en cos et sin et l'on écrit, ici encore, que cos² + sin²=1.
On aboutit à la condition :
2) (a²+b²) (x²+y²) + 2xy [(a²–b²) cos – 2ab sin ≥ (x²–y²)² On retrouve bien la condition (1) quand =
L'épaisseur du paquet de panneaux est x sin .
Un tableur nous indique que :
Avec = 75° on peut aller jusqu’à x sin = 0,0483 m, soit en chiffres ronds : 4 panneaux.
Avec = 80° on peut aller jusqu’à x sin = 0,0492 m, soit en chiffres ronds : 4 panneaux.
Avec = 85° on peut aller jusqu’à x sin = 0,0508 m, soit en chiffres ronds : 5 panneaux.
Avec = 95° on peut aller jusqu’à x sin = 0,0528 m, soit en chiffres ronds : 5 panneaux.
Avec = 100° on peut aller jusqu’à x sin = 0,0551 m, soit en chiffres ronds : 5 panneaux.
Avec = 125° on peut aller jusqu’à x sin = 0,0688 m, soit en chiffres ronds : 6 panneaux.
2 On négligera jusqu’à nouvel ordre les "décrochements" en bordures du parallélogramme, car de toutes façons on fera des arrondis en nombres ronds de panneaux.
Avec ≥ 126°, y sin ou [y sin x sin (+)] dépasse la hauteur de la porte.
Cela s'explique de la manière suivante.
Considérons le placement dans lequel =, c'est à dire dans lequel le panneau le plus à droite est calé au sommet en haut à droite de la porte et où les autres reposent sur le seuil et contre ce dernier.
figure 3
On a alors : sin = b/y x = a – y cos
D'où, avec nos valeurs numériques de a, b, y :
= arcsin (b/y) = 54,7187382°
et donc
==125,281262°
C'est là un seuil3 que l'on ne peut dépasser et l'épaisseur vaut alors : e = x sina sin b cos
soit : e = 0,0693 m, et, en chiffres ronds : toujours 6 panneaux.
Parvenus à ce qui apparaît comme le maximum, il convient d'essayer de lever l'approximation des "décrochements".
Un examen attentif montre en effet que, dans la dernière configuration (=125,28°), illustrée par la figure 3, ce que nous avons appelé x par simplification (petit côté du parallélogramme) correspond en réalité à un nombre n de panneaux, qui se calcule comme suit.
La figure 4 ci-après est un agrandissement du coin supérieur droit de la figure 3. L'angle ' est le complémentaire de l'angle ci-dessus.
3 c'est le cas de le dire
Figure 4
Le panneau le plus à droite n'intervient dans le x que pour e sin '(e étant l'épaisseur, soit 0,01m). Les (n–1) autres chacun pour e / sin '
D'où :
x = 0,01 [(n –1) / sin ' sin '
Soit :
n = (100 x – sin ') sin '
Pour la configuration de la figure 3, le tableur nous donne : x = 0,0849
sin '
Ce qui donne n = 5,5735, soit en chiffres ronds : 5.
Lever l'approximation des "décrochements" n'apporte donc rien, au contraire, et l'on en restera donc aux résultats de la figure 3, soit e = 0,0693 m.
La réponse est donc que le maximum de panneaux que l'on puisse faire passer simultanément par la porte est 6.
