Diophante A4901 Jeux de bascule Q

Diophante A4901 Jeux de bascule Q1

Soient N² le carré parfait, x le nombre de termes de la suite S1 après lui (de N²+1 à N²+x) et x+D-1 le nombre de termes avant lui (de N²-x-D + 1 à N²-1). 2x+D = n.

(2N²+x+1)x/2 = (2N²-x-D)(x+D-1)/2 + N² donne a² + b² = c² où a = n, b = 2N²-D+1 et c = 2N²+1.

Nous examinons les triplets pythagoriciens dans l’ordre croissant du plus petit terme, en ne retenant que ceux où c est de la forme 2N²+1.

Le cas (a, b, c) = (24, 45, 51) est écarté car il fournit n = 24, N = 5, D = 6, x = 9, S1 = {11 ... 34}

qui contient aussi le carré 16.

Le cas suivant (a, b, c) = (45, 336, 339) convient.

Nous vérifions que S1 ne contient pas les carrés 144 et 196.

n = 45, N = 13, D = 3, x = 21, S1 = {146 ... 190}.

Q2

a) Pour les trois premières valeurs, nous trouvons C(1) = 1, C(4) = -8 et C(5) = 27.

En raisonnant par récurrence, (p²+p+1)(2p+1) étant la somme des entiers de p²+1 à (p+1)², le passage de p à p+1 vérifie -(-1)^pp³ + (-1)^p {(p²+p+1)(2p+1)} = -(-1)^p+1(p+1)³.

Lorsque n = p², C(n) = -(-1)^pp³.

Lorsque n = 2018², C(n) = - 2018³. Lorsque n = 2019², C(n) = 2019³. b) 41³ = 68921 < 76971.

C(43²) = 43³ = 79507. 43² = 1849. 79507 - 1849 = 77658 puis 77658 - 75809 < 76971.

C(45²) = 45³ = 91125. 45² = 2025. 91125 - (2025 + 2024 + ... + 2019) = 76971.

n = 2018.

Jean-Louis Legrand